Miesięczne wydatki na odbitki kserograficzne (dane w zł) ogółu studentów SGH mają rozkład . Badanie 5 losowo wybranych studentów ze względu na wydatki na odbitki dostarczyło następujących danych: 10; 12; 8; 15; 10. Ilu co najmniej studentów należy wylosować do próby, aby przy poziomie ufności 0,95 oszacować średnie wydatki ogółu studentów, otrzymując przedział o długości nieprzekraczającej 4 zł?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

“ Ilu co najmniej studentów należy wylosować do próby, aby przy poziomie ufności 0,95 oszacować średnie wydatki ogółu studentów, otrzymując przedział o długości nieprzekraczającej 4 zł? ”

Na początku może się wydawać, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej, ponieważ pojawia się zwrot: otrzymując przedział o długości ... . Niemniej jednak przewagę nad tym wyrażeniem zawsze ma: ilu co najmniej studentów należy wylosować do próby .... , czyli szukamy minimalnej liczebności próby. Nie ma również ani słowa o maksymalnym błędzie szacunku, ale jest on ukryty w zadaniu pod innym szyldem. Nie jest to nic nadzwyczajnego, ponieważ zagadnienie minimalnej liczebności próby ściśle wiąże się z estymacją przedziałową. Pojawia się również wyrażenie poziom ufności .. Biorąc to pod uwagę mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

“ Miesięczne wydatki na odbitki kserograficzne (dane w zł) ogółu studentów SGH mają rozkład . ”

Symbol oznacza, że miesięczne wydatki na odbitki charakteryzują się rozkładem normalnym o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym . Zapis ten zawsze odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny).

Badanie 5 losowo wybranych studentów ze względu na wydatki na odbitki dostarczyło następujących danych: 10; 12; 8; 15; 10.

Dowiadujemy się , że wylosowano 5 osób - jest to liczebność próby, którą zapiszemy . Podano również wyniki z próby - liczby wypisane po przecinku tzw. dane indywidualne. Jeżeli takowe posiadamy, to zawsze w razie potrzeby można z nich obliczyć średnią , wariancję lub odchylenie standardowe . Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ może się okazać, że wcale nie będą nam potrzebne.

“ Ilu co najmniej studentów należy wylosować do próby, aby przy poziomie ufności 0,95 oszacować średnie wydatki ogółu studentów, otrzymując przedział o długości nieprzekraczającej 4 zł? ”

Szukamy liczebności próby (liczba studentów), którą oznaczamy literą . I tu pojawia się wątpliwość - przecież przed chwilą wypisaliśmy liczebność próby , więc po co szukać czegoś co już jest znane? Prawdopodobnie jest to próba wstępna (pilotażowa) lub też autor zadania chce nas sprowadzić na manowce :). Na razie oznaczmy tymczasowo liczebność naszej próby symbolem (próba pilotażowa). Wszystko się okaże na etapie wyboru wzoru.

Podano również poziom ufności, a więc . Od razu wyznaczamy .

Jak pamiętamy, w zadaniach dotyczących minimalnej liczebności próby ważnym elementem jest wartość maksymalnego błędu szacunku . Zamiast tego dowiadujemy się, że przedział ufności powinien mieć długość nieprzekraczającą 4 zł. Warto zapamiętać, że maksymalny błąd szacunku to połowa przedziału ufności. Jeśli informacja ta wydaje się być zbyt lakoniczna, odsyłam do szerszego wytłumaczenia http://matma-po-ludzku.pl/statystyka/wnioskowanie/estymacja/estymacja_sredniej/zadanie29.php . Otrzymujemy zatem .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA studenci	PRÓBA wybranych studentów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym	- próba pilotażowa - dane indywidualne (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy jest znana. Stwierdzamy, że jest znana , zatem wybieramy model I . Jednak może się tu pojawić wątpliwość co do wybranej formuły, ponieważ dysponujemy liczebnością próby pilotażowej i wynikami z tejże próbki, które pozwalają na obliczenie . Próba pilotażowa wskazuje na model II, ale jeżeli jest znana, to wybiera się zawsze model I. Wynika to z faktu, że dotyczy populacji, a próby, która może istotnie różnić się od całej populacji. Podsumowując - dane dotyczące populacji mają większą wagę niż dane z prób, które wcale nie muszą być reprezentatywne. Tak więc to była podpucha ze strony autora.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/rnormalny.pdf . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 dla oszacowania średniego poziomu wydatków ogółu studentów, do próby należy wylosować 9 żaków.