I sposób

Lewa strona równości jest dłuższa, zatem to ją będziemy przekształcać pozbywając się na początku nawiasów, oczywiście można mnożyć „na piechotę”, ale warto przyjrzeć się zawartości nawiasów. W każdym z nich jest właściwie to samo wyrażenie różniące się jedynie znakiem, można więc zastosować wzór skróconego mnożenia .

II sposób

Zauważmy, że prawa strona równości jest przekształceniem jedynki trygonometrycznej , a lewa strona składa się z i cosinusów, co jest nam na rękę. można zapisać jako (jedynka podniesiona do kwadratu to nadal jeden), a taka forma umożliwia nam rozkład tego wyrażenia ze wzoru skróconego mnożenia :

Lewa strona równania jest dłuższa, zatem to ją będziemy przekształcać. Na początku należy pozbyć się nawiasów wymnażając kolejne składniki:

Następnie skorzystamy z własności oraz zamienimy cotangens na sinus zgodnie ze wzorem , ponieważ po prawej stronie występuje wyłącznie sinus i nie ma tu ani tangensów, ani cotangensów. Aby zapisać skorzystamy z własności potęg , z tego wzoru można korzystać jedynie w przypadku gdy wykładniki potęg są takie same (w przykładzie były to ) i pomiędzy kolejnymi liczbami jest znak mnożenia lub dzielenia.

Pomocniczo dla ułatwienia działań skorzystamy z zapisu (każda liczba podzielona przez to nadal ta sama liczba), ponieważ wiele osób ma problemy z prawidłowym skracaniem ułamków, a wykonywanie działań w przekształcaniu tożsamości wykonuje się identycznie jak działania na ułamkach zwykłych.

Założenie: (mianownik nie może być równy )

Przestrzegam przed „twórczością radosną” objawiającą się w skracaniu . Aby bezbłędnie skracać ułamek znak dodawania musi być zamknięty w nawiasie wraz z okalającymi je elementami: . Wnętrza

nawiasu nie wolno ruszać i jak widać nie ma za bardzo z czym skrócić sinusa z mianownika.

Obie strony mają podobną długość. Powyższą równość można sprawdzić na dwa sposoby:

I sposób

Będziemy przekształcać lewą stronę - występuje tu cotangens, którego po prawej stronie równości nie ma, zatem pierwszym krokiem będzie zamiana :

Kolejny etap to stworzenie kreski ułamkowej, która występuje po prawej stronie, można to osiągnąć przez sprowadzenie do wspólnego mianownika.

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , bo każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

II sposób

Lewą stronę można rozdzielić na dwa ułamki tak jak się to robi na zwykłych liczbach np. i skorzystać ze wzoru :

Założenie: (mianownik nie może być równy )

Po przekształceniu założenia otrzymujemy ostatecznie , bo jeżeli cosinus będzie wynosił , to także cosinus do kwadratu będzie równy ) .

Obie strony równania są podobnej długości. Można je sprawdzić na dwa sposoby:

I sposób

Przekształcimy lewą stronę, zamieniając tangens ze wzoru , ponieważ po prawej stronie równości nie występuje.

Następnie stworzymy jedną kreskę ułamkową „wrzucając” na nią jedynkę po sprowadzeniu jej do wspólnego mianownika.

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , bo każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

II sposób

Zaczniemy przekształcać prawą stronę. Właściwie trzeba wykazać się tu pomysłowością i jedynkę z licznika rozłożyć ze wzoru . Z rozkładaniem liczby zgodnie ze wzorem na „jedynkę trygonometryczną” należy postępować ostrożnie, ponieważ pochopne użycie tego wzoru może bardzo skomplikować przykład (zwłaszcza długi), dlatego warto robić to dopiero w ostateczności. Jednak w tym przypadku przykład jest krótki, zatem nie będzie większego problemu. Na początku rozdzielimy ułamek na dwa mniejsze i skorzystamy z odpowiednich wzorów :

Przekształcając wyrażenie skorzystamy z własności potęg - z tego wzoru można korzystać jedynie w przypadku gdy wykładniki potęg są takie same (w przykładzie były to ) i pomiędzy kolejnymi liczbami jest znak mnożenia lub dzielenia.