Korzystamy ze wzoru na cotangens kąta i otrzymujemy:

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

W tym przykładzie należy sprytnie wyciągnąć przed nawias:

Skorzystamy ze wzoru na tangens kąta :

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis , ponieważ jakakolwiek liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

Znów korzystamy ze wzoru na cotangens kąta i otrzymujemy:

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

Skorzystamy ze wzoru na tangens kąta :

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

Korzystamy ze wzoru na cotangens kąta otrzymując:

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

W nawiasie ukryta jest przekształcona jedynka trygonometryczna , zatem otrzymujemy:

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

Na początku pozbędziemy się nawiasów wymnażając kolejno składniki:

Zamieniając kolejność w drugiej części wyrażenia otrzymaliśmy , teraz skorzystamy ze wzoru w celu pozbycia się cotangensa:

Dla ułatwienia obliczeń zastosowano zapis oraz , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie.

Pierwszy krok to rozpisanie cotangensa ze wzoru :

Teraz wciągniemy jedynkę na ułamek sprowadzając ją do wspólnego mianownika:

Pierwszy krok to likwidacja nawiasów zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia , gdzie oraz :

Teraz zmienimy kolejność składników co oczywiście nic nie zmieni, ale pozwoli nam zauważyć pewne własności tzn. jeżeli w przykładzie występuje i to warto napisać je obok siebie o ile oczywiście jest to możliwe. Dokonamy również redukcji wyrazów podobnych:

W tym przypadku pierwszą czynnością, jaką wykonamy będzie likwidacja nawiasów. Po prostu będziemy wymnażać kolejno składniki:

W przykładzie nie widać nic nadzwyczajnego np. przekształconej jedynki trygonometrycznej, zaś rozkładanie i tak nic nie da, zatem mamy już ostateczny wynik.

W przykładzie występuje cotangens, który zostanie rozpisany zgodnie ze wzorem :

Zgodnie z koniecznością działań wykonamy mnożenie, dla ułatwienia rachunków zastosujemy zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie:

Zaczniemy tradycyjnie od zamiany tangensa ze wzoru :

Teraz sprowadzimy w wspólnego mianownika elementy z licznika dużego ułamka stosując dla ułatwienia rachunków zapis :

Teraz pozbędziemy piętrowego ułamka zastępując główną kreskę ułamkową znakiem dzielenia i zamieniając na mnożenie. Dla ułatwienia rachunków zastosowano zapis , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie :

Właściwie można już skracać w mnożeniu, ale uwaga!!! - w liczniku pierwszego mianownika jest znak dodawania między liczbami, więc najpierw wyciągnijmy sinus przed nawias zamykając tym samym dodawanie w nawiasie – i dopiero wtedy można skracać:

W obu ułamkach otrzymaliśmy wspólny mianownik, zatem zapisujemy wszystko na jednej kresce:

Na początku pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Podnosimy elementy w nawiasie do kwadratu i pozbywamy się piętrowego ułamka zastępując główna kreskę ułamkową znakiem i zamieniając dzielenie na mnożenie:

Dla ułatwienia rachunków zastosujemy zapis oraz :

Obydwa ułamki na końcu mają wspólny mianownik zatem możemy zapisać wszystko na jednej kresce ułamkowej:

Teraz trzeba w liczniku powstałego ułamka wyciągnąć przed nawias, bo nie możemy inaczej postąpić, a tym bardziej odjąć zmiennych o różnych potęgach:

W nawiasie powstała „prawie” przekształcona jedynka trygonometryczna postaci: - niestety nie zgadzają się nam znaki. Przepis jest prosty w takich przypadkach należy wyciągnąć minus przez nawias, co zmieni znaki w nawiasie na przeciwne. Dla wygody wrzucimy wyciągnięty minus przed :

W ułamku nie występuje ani mnożenie ani dodawanie, zatem można bez obaw skracać:

Na początku pozbędziemy się nawiasów. Przyjrzyjmy się ich zawartości – różnią się tylko jednym znakiem, można więc zastosować wzór skróconego mnożenia: . Oczywiście nic się nie stanie, jeżeli nie zauważymy tego wzoru, można po prostu wymnażać kolejno składniki – i tak otrzymamy to samo.

W liczniku występuje sinus podniesiony do kwadratu można go zamienić zgodnie ze wzorem :

W liczniku mamy do czynienia z wyrażeniem, które można rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia i na końcu skrócić:

W liczniku występuje przekształcona jedynka trygonometryczna

Na początku zamienimy tangens ze wzoru i spróbujemy stworzyć jeden ułamek sprowadzając oba wyrażenia do wspólnego mianownika:

Na początku zamienimy cotangens ze wzoru i spróbujemy stworzyć jeden ułamek sprowadzając oba wyrażenia do wspólnego mianownika:

Jak widać wspólny mianownik nie został wymnożony, warto z tym zaczekać, ponieważ czasem takie postępowanie powoduje, że często nie zauważamy możliwości skracania w nowo powstałym mianowniku. Dzięki temu w końcówce przykładu bezproblemowo skrócono licznik z mianownikiem.

W przykładzie nie widać ani przekształconej jedynki trygonometrycznej ani innych własności, także pierwszym krokiem będzie tu sprowadzenie obu ułamków do wspólnego mianownika:

Jak widać wspólny mianownik nie został wymnożony, warto z tym zaczekać, ponieważ czasem zbyt szybkie pozbycie się nawiasów w nowo powstałym mianowniku powoduje, że często nie zauważamy możliwości skracania. Dzięki temu w końcówce przykładu po wyciągnięciu przed nawias bezproblemowo skrócono licznik z mianownikiem.

Z kolei wyrażenie , które powstało w liczniku w jednym z ułamków po sprowadzeniu do wspólnego mianownika oczywiście nie musi być koniecznie potraktowane wzorem skróconego mnożenia – można je wymnożyć „na piechotę” i tak otrzymamy ten sam wynik:

Jednak warto zauważać takie rzeczy, ponieważ usprawniają i skracają one liczenie - a więc dwa identyczne nawiasy wymnożone przez siebie można potraktować jak wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy etap to pozbycie się nawiasów wymnażając kolejno składniki:

Teraz skorzystamy z własności potęg, gdy pomiędzy kolejnymi składnikami występuje znak mnożenia i wykładniki są identyczne (w tym przypadku ) można zastosować wzór :

Pozbędziemy się teraz cotangensa korzystając ze wzoru :

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Na początku pozbędziemy się nawiasów kolejno wymnażając przez siebie ich elementy i sprawdzając, czy nie można skorzystać z własności funkcji trygonometrycznych:

Teraz pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma wątpliwości, jak należy wymnażać ułamki.

W liczniku można skorzystać z przekształconej jedynki trygonometrycznej i zamienić :

W liczniku mamy do czynienia z wyrażeniem, które można rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia i na końcu skrócić:

W liczniku można skorzystać z przekształconej jedynki trygonometrycznej i zamienić :

W liczniku mamy do czynienia z wyrażeniem, które można rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia i na końcu skrócić:

W liczniku znów występuje przekształcona jedynka trygonometryczna, dzięki której licznik można zapisać jako sinus podniesiony do kwadratu zgodnie ze wzorem:

Właściwie w liczniku i mianowniku nie widać przekształconej jedynki trygonometrycznej ani innych ciekawych własności, ale przejrzymy się licznikowi – można wyciągnąć sinus przed nawias, podobnie w mianowniku można wyciągnąć cosinus przed nawias. Dzięki temu otrzymamy przekształcenia jedynki trygonometrycznej:

Zamieńmy tangens zgodnie ze wzorem :

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Na początku pozbędziemy się nawiasów. Przyjrzyjmy się ich zawartości – różnią się tylko jednym znakiem, można więc zastosować wzór skróconego mnożenia: . Oczywiście nic się nie stanie, jeżeli nie zauważymy tego wzoru, można po prostu wymnażać kolejno składniki – i tak otrzymamy to samo.

Na początku pozbędziemy się nawiasów wymnażając kolejno składniki:

Nie widać tu możliwości skorzystania z podstawowych wzorów i uproszczenia na tym etapie, zatem kolejny krok to zamiana tangensa i cotangensa zgodnie ze wzorami oraz :

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Na początku pozbędziemy się nawiasów. Przyjrzyjmy się ich zawartości – różnią się tylko jednym znakiem, można więc zastosować wzór skróconego mnożenia: . Oczywiście nic się nie stanie, jeżeli nie zauważymy tego wzoru, można po prostu wymnażać kolejno składniki – i tak otrzymamy to samo.

Tym razem nie będziemy szukać wspólnego mianownika, ponieważ dojdziemy do postaci w której trzeba będzie zastosować wzory redukcyjne (na poziomie podstawowym nie obowiązują) , a i tak wynik nie będzie mocno uproszczony. Rozbijemy z licznika w obu ułamkach korzystając z tradycyjnej jedynki trygonometrycznej :

Rozbijemy oba ułamki na mniejsze tak jak się to robi na prostych liczbach np. :

W przykładzie pojawiły się nawiasy, ponieważ przed drugim ułamkiem występuje minus zmieniający znaki, a rozkładając go na mniejsze ułamki możemy o nim zapomnieć.

Teraz skorzystamy z własności potęg, gdy pomiędzy kolejnymi składnikami występuje znak dzielenia w postaci kreski ułamkowej i wykładniki są identyczne (w tym przypadku ) można zastosować wzór :

Na początku pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Na początku skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia w celu pozbycia się nawiasów:

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy wynik, możemy wyciągnąć przed nawias:

Czasami dobrym sposobem jest wyciągnięcie powtarzającego się elementu w przykładzie przed nawias - w tym przypadku . Należy sprawdzać, czy to się opłaca:

W tym przypadku jak najbardziej tak.

Spróbujmy wyciągnąć przed nawias, ponieważ ten element się powtarza:

Tradycyjnie pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

W tym wyrażeniu przy przekształceniach trzeba wykazać się sprytem. Na początku pozbędziemy się grupując w nawias dwa pierwsze elementy co nic nie zmieni w wartości wyrażenia:

Teraz wyciągamy z nawiasu ile się da czyli :

W tym przypadku również należy umiejętnie dokonywać przekształceń aby nie skomplikować jeszcze bardziej wyrażenia. Na początku pozbędziemy się grupując w nawias dwa ostatnie elementy co nic nie zmieni w wartości wyrażenia:

Teraz wyciągamy przed nawias ile się da czyli :

Na początku pozbędziemy się nawiasów wymnażając kolejno składniki:

Po wymnożeniu nie pojawiły się znajome wzory pozwalające na uproszczenie wyrażenia, zatem kolejny krok to zamiana tangensa i cotangensa zgodnie ze wzorami oraz :

Dla ułatwienia obliczeń (aby nie pomylić się w skracaniu ułamków) zapisujemy oraz i skracamy:

Redukujemy wyrazy podobne pamiętając, że , bo mnożenia jest przemienne tak jak :

Kolejny etap to zauważenie rozwiniętego wzoru skróconego mnożenia i „zwinięcie” go do postaci :

Na koniec korzystając ze wzoru (jeżeli wyciągam pierwiastek kwadratowy z jakiegokolwiek wyrażenia podniesionego do kwadratu to otrzymujemy moduł z tego wyrażenia) otrzymujemy:

Ważna uwaga:

Jeżeli pod pierwiastkiem jest dodawanie lub odejmowanie między liczbami lub jakimikolwiek znakami NIE MOŻNA rozdzielić składników pod pierwiastkiem !!!

Na początku zamienimy tangens kąta według wzoru :

Jeżeli mamy do czynienia z dzieleniem (lub występuje kreska ułamkowa, która jest równoważna znakowi dzielenia) pod pierwiastkiem to można rozdzielać poszczególne składniki znajdujące się pod pierwiastkiem zgodnie ze wzorem :

Na koniec korzystając ze wzoru (jeżeli wyciągam pierwiastek kwadratowy z jakiegokolwiek wyrażenia podniesionego do kwadratu to otrzymujemy moduł z tego wyrażenia) otrzymujemy:

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Ważna uwaga:

Jeżeli pod pierwiastkiem jest dodawanie lub odejmowanie między liczbami lub jakimikolwiek znakami NIE MOŻNA rozdzielić składników pod pierwiastkiem !!!

Na początku zamienimy cotangens kąta według wzoru :

Jeżeli mamy do czynienia z dzieleniem (lub występuje kreska ułamkowa, która jest równoważna znakowi dzielenia) pod pierwiastkiem to można rozdzielać poszczególne składniki znajdujące się pod pierwiastkiem zgodnie ze wzorem :

Na koniec korzystając ze wzoru (jeżeli wyciągam pierwiastek kwadratowy z jakiegokolwiek wyrażenia podniesionego do kwadratu to otrzymujemy moduł z tego wyrażenia) otrzymujemy:

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Przyjrzyjmy się mianownikowi, występuje w nim przekształcona jedynka trygonometryczna :

W tym momencie można postąpić dwojako:

I sposób

Pozbędziemy się cotangensa korzystając ze wzoru :

II sposób

Skorzystajmy z własności potęg dzięki czemu w nawiasie otrzymamy tangens:

Znowu skorzystamy z własności potęg :

Spróbujemy zamienić tangensy na cotangensy zgodnie ze worami oraz (można też zamienić cotangensy na tangensy) i powstałe w liczniku ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika:

Teraz rozdzielimy ułamek na dwa tak jak można to wykonać na prostszych ułamkach np.

W tym przykładzie trzeba wpaść na pewien pomysł. Na początku pogrupujmy elementy podniesione do identycznej potęgi:

W nawiasie mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia w postaci . Aby go zobaczyć wyrażenie w nawiasie zostanie przekształcone:

Następnie trzeba rozpisać wzór :

W tym przypadku również należy również należy wykazać się sprytem i wyciągnąć czynnik przed nawias na zasadzie „co się da” - w liczniku będzie to , a w mianowniku :

Na początku pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

Od razu pojawił się wspólny mianownik, zatem możemy zapisać wszystko na jednej kresce ułamkowej:

Na początku zamienimy tangens na cotangens zgodnie ze wzorem , można też postąpić odwrotnie zamieniając cotangens na tangens – oba sposoby są jak najbardziej prawidłowe i wymagają tyle samo czasu, ważne jest tylko aby w przykładzie była tylko jedna z tych funkcji.

Otrzymaliśmy „piętrowy” ułamek, więc trzeba się go pozbyć:

Teraz skorzystamy z własności potęg ( ):

Dla ułatwienia rachunków zastosowano oraz , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.

Na początku pozbędziemy się tangensa korzystając ze wzoru :

W wyniku zamiany powstał wspólny mianownik dla pierwszego i ostatniego elementu więc zapiszmy wynik na jednej kresce ułamkowej (dla wygody zamieniono kolejność składników):

Na początku pozbędziemy się nawiasów, wykonamy to stopniowo. Zaczniemy od wymnożenia dwóch pierwszych nawiasów zapisując wynik mnożenia w nawiasie i dopiero wtedy powstały wynik wymnożymy przez ostatni nawias. Dlaczego wynik powstały z mnożenia dwóch pierwszych nawiasów zapisujemy znów w nawiasie? Ano dlatego, że mamy jeszcze trzeci nawias do wymnożenia i aby nie popełnić błędu polegającego na tym, że tylko jeden element z powstałego wyniku zostanie wymnożony przez trzeci nawias podczas gdy trzeba wymnożyć wszystkie elementy.

Można też zacząć od wymnożenia pierwszego i trzeciego nawiasu lub drugiego i trzeciego, ponieważ mnożenie jest przemienne tzn. . Pamiętajmy o zapisaniu pierwszego wyniku w nawiasie, dopiero później wymnożymy pozostały nawias.

Uprośmy maksymalnie wynik mnożenia, aby usprawnić późniejsze liczenie (Dla ułatwienia rachunków zastosowano oraz , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.):

Dwa wyrażenia w nawiasie „zwinięto” do tangensa i cotangensa, ponieważ w drugim nawiasie występują również te funkcje, w mając w perspektywie mnożenie tangensów i cotangensów można będzie korzystać ze wzoru . Oczywiście nic się nie stanie jeżeli tego nie zauważymy i w drugim nawiasie tangens i cotangens zamienimy ze wzorami oraz . Ja wykonam to nieco później o ile będzie niezbędne. Na razie jednak wymnażam pozostałe nawiasy:

Na tym etapie pozbędziemy się tangensów i cotangensów korzystając ze wzorów oraz .

Dla ułatwienia rachunków zastosowano , ponieważ każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie, przy takim zapisie nie ma również wątpliwości, jak należy skracać ułamki.)

W wyniku powstały właściwie dwa równe mianowniki. Zmieńmy kolejność składników i wykonajmy działania na tych ułamkach, które mają wspólne mianowniki:

Na początku pozbędziemy się nawiasów. Właściwie można mnożyć składniki w różnej kolejności, ponieważ mnożenie jest przemienne. Zaczniemy od wymnożenia cosinusa przez pierwszy nawias, wynik oczywiście zapiszemy w nawiasie, ponieważ czeka nas jeszcze wymnożenie przez drugi nawias. Kolejność wymnażania jest dowolna, można na przykład wymnożyć najpierw nawiasy, a dopiero później przemnożyć przez cosinus.

Aby uniknąć problemów z działaniami na ułamkach tzn. prawidłowym skracaniem zapiszemy (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie) .

Pozostały już tylko dwa nawiasy, które znowu wymnażamy:

Znów skorzystamy z zapisu oraz :

Redukujemy wszystko co jest możliwe i otrzymujemy:

W przykładzie mamy dwa ułamki o wspólnym mianowniku, zatem zapiszmy je jako jeden ułamek. Dla wygody zmienimy kolejność ułamków:

Niestety nie dało to nam nic konkretnego, gdyby nie znaki w liczniku znajdowałaby się tu przekształcona jedynka trygonometryczna. Spróbujmy zatem wszystkie składniki wrzucić na kreskę ułamkową sprowadzając je do wspólnego mianownika. Dla ułatwienia na początku skorzystamy z zapisu skorzystamy z zapisu oraz (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Zmieńmy nieco kolejność w liczniku, ponieważ występuje sinus i cosinus do kwadratu i które od razu się kojarzą z jedynką trygonometryczną:

Przykład trzeba rozwiązać sprytnie. Zaczniemy od pierwszego ułamka. W mianowniku wyciągniemy przed nawias, natomiast w liczniku rozbijemy korzystając z przekształconej jedynki trygonometrycznej – czyli :

Mianownik ułamka znacząco się uprościł. Możemy skrócić z zredukowanego mianownika i z licznika mniejszego ułamka. Oczywiście w mianowniku „dużego” ułamka można było także powymnażać kolejne nawiasy przez zamiast wyciągania przed nawias – i tak otrzymalibyśmy to samo.

Kolejny etap to znowu zręczne uproszczenie licznika w długim ułamku. Zajmiemy się przekształceniem jedynki trygonometrycznej na iloczyn dwóch nawiasów zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia :

Po co to robimy? Jeżeli przyjrzymy się dalszej części licznika długiego ułamka to zobaczymy tam nawias , który przed chwilą stworzyliśmy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. Dzięki temu będziemy mogli wyciągnąć przed nawias właśnie ten cały nawias i uprościć licznik:

W tym momencie możemy skrócić wyciągnięty nawias z identycznym mianownikiem z krótszego ułamka:

Uprośćmy licznik pierwszego ułamka:

Na końcu wymnażamy pozostałe ułamki:

Teraz użyjemy wzór skróconego mnożenia z którego już wcześniej z którego korzystaliśmy, ale w drugą stronę i otrzymujemy przekształconą jedynkę trygonometryczną dającą :

Kolejny przykład wymagający sprytnego przekształcania – w przeciwnym przypadku może się rozrosnąć do ogromnych rozmiarów.

Oba ułamki są bardzo podobne, różnią się tylko dwoma elementami (tangens i cotangens). Musimy je odjąć, więc niezbędne będzie sprowadzenie ich do wspólnego mianownika. Na początku spróbujmy zamienić tangens i cotangens zgodnie ze wzorem oraz :

Teraz wciągniemy wszystkie jedynki z nawiasów na kreskę ułamkową tworząc jeden ułamek, dla ułatwienia zastosujemy zapis :

W pierwszym „mega” ułamku wspólny mianownik dla wyrażeń z nawiasów wynosi , a dla drugiego :

W liczniku obu dużych ułamków postaramy się skrócić mniejsze ułamki, aby nie popełnić błędów w czasie skracania zapiszemy (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie), natomiast w mianownikach skorzystamy z własności potęg :

Zróbmy porządek w licznikach obu ułamków pozbywając się nawiasów. Mnożenie jest przemienne zatem zapiszmy składniki mnożenia w nieco innej kolejności, ponieważ często zdarza się, że nie zauważamy kolejnego składnika, który musi być uwzględniony przy wymnażaniu przez nawias, gdyż znajduje się on właśnie za tym nawiasem:

Kolejny krok to usunięcie piętrowych ułamków – zastąpimy kreski ułamkowe w obu znakiem dzielenia:

Obydwa długie nawiasy zapiszemy jako ilorazy i zgodnie z zasadami działań na ułamkach zamienimy dzielenie na mnożenie odwracając drugi ułamek:

Otrzymaliśmy wspólny mianownik dla obu ułamków, zatem zapiszmy liczniki na jednej kresce ułamkowej:

Ponownie pozbędziemy się nawiasów z licznika wymnażając kolejno składniki i po wymnożeniu dokonamy redukcji wyrazów podobnych:

Kolejny etap to umiejętne pogrupowanie składników w liczniku. Tworzymy dwa nawiasy co nic nie zmieni w przykładzie:

Teraz z każdego nawiasu wyciągamy „co się da” (w drugim nawiasie także powtarzające się minusy):

Po wyciągnięciu wspólnego czynnika otrzymaliśmy identyczne nawiasy, teraz znów będziemy wyciągać, ale już cały powtarzający się nawias:

Dało nam to możliwość skracania, ponieważ wszelkie znaki dodawania i odejmowania zostały pogrupowane w nawiasy. Problem w tym, że na razie nic nie nadaje się do skracania.

Pozbędziemy się wreszcie nawiasu w mianowniku, który długo był nietknięty. Tak jak już wcześniej wspominano warto się wstrzymywać do samego końca z pozbywaniem się nawiasów w mianowniku, ponieważ czasem trudno zauważyć możliwość skracania. Skorzystamy tradycyjnie ze wzoru skróconego mnożenia :

Zmieńmy nieco kolejność w mianowniku:

Cały mianownik jest teraz identyczny jak jeden z nawiasów w liczniku, więc możemy wreszcie skrócić:

Przykład wymagający również sprytnych przekształceń. Widzimy dwa skomplikowane i dość podobne do siebie ułamki, które należy sprowadzić do wspólnego mianownika przed odejmowaniem. Nie podnośmy pierwszego ułamka do kwadratu (przynajmniej teraz), bo może naprawdę powiększyć swój rozmiar.

Na początku spróbujmy zamienić tangens i cotangens zgodnie ze wzorem oraz :

Na dole w obu dużych ułamkach można bez problemu wykonać dodawanie, ponieważ otrzymaliśmy wspólne mianowniki, z kolei na górze również postarajmy się zbić ułamki w jeden – dla ułatwienia zastosujemy zapis oraz (każda liczba podzielona przez nie ulega zmianie):

Zajmijmy się licznikami ułamków znajdujących się na górze mega ułamków. Możemy wyciągnąć pewne powtarzające się elementy przed nawias oraz :

Widzimy, że w każdym ogromnym ułamku są dwa mniejsze ułamki, w tym momencie postaramy się pozbyć „piętrówek” - główną kreskę w każdym ułamku zamienimy na znak dzielenia i zwyczajnie podzielimy ułamki zamieniając na mnożenie i skracając w miarę możliwości:

Teraz podniesiemy do kwadratu pierwszy ułamek zgodnie ze wzorem :