a) Jaka powinna być minimalna liczebność próby, niezbędna do oszacowania odsetka uczniów zamierzających po maturze kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 40 uczniów 70% zamierza kontynuować naukę w szkole wyższej (przyjąć poziom ufności 0,9 i maksymalny błąd szacunku 5%)?

b) Jak zmieni się szacowana liczebność próby, jeśli w badanej klasie tylko 50% uczniów będzie kontynuować naukę?

c) Jaka jest minimalna liczebność próby niezbędnej do oszacowania tego odsetka ze względnym błędem do 5%?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

“ Jaka powinna być minimalna liczebność próby, niezbędna do oszacowania odsetka uczniów zamierzających po maturze kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 40 uczniów 70% zamierza kontynuować naukę w szkole wyższej (przyjąć poziom ufności 0,9 i maksymalny błąd szacunku 5%)? ”

Występują tu zwroty: jaka powinna być minimalna liczebność próby ... , maksymalny błąd szacunku ... . Pojawia się również wyrażenie: poziom ufności . Biorąc pod uwagę wszystkie słowa-klucze mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

“ Jaka powinna być minimalna liczebność próby, niezbędna do oszacowania odsetka uczniów zamierzających po maturze kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 40 uczniów 70% zamierza kontynuować naukę w szkole wyższej (przyjąć poziom ufności 0,9 i maksymalny błąd szacunku 5%)? ”

Szukamy liczebności próby właściwej, którą oznaczamy literą . Wydaje się dziwne, że w zadaniu, którego istotą jest znalezienie liczebności próby podaje się właśnie to, czego szukamy - a więc liczebność próby. Nie ma powodu do niepokoju - jest to liczebność próby wstępnej uczniów tzw. pilotażowej, której liczebność oznaczamy . Ponadto dowiadujemy się, że 70% uczniów z tej klasy zamierza studiować. Jest to procent, a więc wskaźnik struktury z próby pilotażowej. Opisujemy go symbolem . Poziom ufności wynosi . Od razu wyznaczamy . Maksymalny błąd szacunku wynosi .

“ Jak zmieni się szacowana liczebność próby, jeśli w badanej klasie tylko 50% uczniów będzie kontynuować naukę? ”

W drugiej części zadania, wszystkie wypisane parametry nie zmienią się poza wskaźnikiem struktury, który wynosi .

Jaka jest minimalna liczebność próby niezbędnej do oszacowania tego odsetka ze względnym błędem do 5%?

Trzecia część zadania będzie dotyczyć oszacowania minimalnej liczebności próby przy względnym błędzie szacunku . Pamiętajmy, że bezwzględny maksymalny (dopuszczalny) błąd szacunku nie jest tą samą wielkością co względny błąd szacunku !

Najpierw wykonamy obliczenia dla , później dla , a następnie porównamy wyniki.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA uczniowie	PRÓBA wybranych uczniów

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy jest znana. Stwierdzamy, że nie jest znana , zatem wykluczamy model I. Mamy próbę pilotażowej o konkretnej liczebności , ale niemożliwe jest wyliczenie wariancji , wobec tego odrzucamy również modele II i III. W zamian dysponujemy spodziewanym wskaźnikiem struktury z próby pilotażowej , zatem wybieramy model IV .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

AD. a)

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Zgodnie ze wzorem .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/rnormalny.pdf . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

AD. b)

Natomiast po zmianie wskaźnika struktury z 0,7 na i niezmienionymi pozostałymi parametrami otrzymujemy :

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

AD. c)

Tym razem w porównaniu z pierwszym podpunktem zmianie ulega wyłącznie względny błąd wskaźnika struktury . Jak widać w wybranej formule nie ma takiego parametru.

Opisuje się go wzorem , gdzie wreszcie pojawia się (bezwzględny maksymalny błąd szacunku). Obliczamy zatem nowy dopuszczalny błąd szacunku podstawiając oraz :

Wracamy do minimalnej liczebności próby:

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Interpretacja brzmi następująco:

AD. a) Aby oszacować odsetek uczniów zamierzających po maturze kontynuować studia z ufnością 0,9, należy wylosować do próby 226 osób.

AD. b) Gdy odsetek uczniów pragnących kontynuować naukę zmniejszymy z 70% do 50% minimalna liczebność próby wzrośnie o osób.

AD. c) Aby oszacować odsetek uczniów zamierzających po maturze kontynuować studia z ufnością 0,9, należy wylosować do próby 462 osoby. (nowy błąd szacunku zmalał z poziomu czy automatycznie pobrana próba musi być większa)