NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Dyrekcja dużego domu towarowego zamierza ustalić, ile czasu spędzają w nim klienci w soboty. W tym celu wylosowano próbę pilotażową, która dała następujące wyniki:

czas w minutach
2 - 6
6 - 10
10 -14
14 - 22
22 - 30
liczba klientów
21
58
43
15
7

Przyjmując współczynnik ufności 0,96 oraz maksymalny błąd szacunku nieprzekraczający 0,5 minuty, oszacuj, czy wylosowana próba wstępna jest wystarczająca do oszacowania średniego czasu w populacji generalnej klientów.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując współczynnik ufności 0,96 oraz maksymalny błąd szacunku nieprzekraczający 0,5 minuty, oszacuj, czy wylosowana próba wstępna jest wystarczająca do oszacowania średniego czasu w populacji generalnej klientów.

Występują tu zwroty: maksymalny błąd szacunku ... , czy wylosowana próba wstępna jest wystarczająca ... . Odnajdujemy również wyrażenie: współczynnik ufności . Biorąc pod uwagę wszystkie słowa-klucze mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

Dyrekcja dużego domu towarowego zamierza ustalić, ile czasu spędzają w nim klienci w soboty. W tym celu wylosowano próbę pilotażową, która dała następujące wyniki:

czas w minutach
2 - 6
6 - 10
10 -14
14 - 22
22 - 30
liczba klientów
21
58
43
15
7

Z podanej tabeli wynika, że wylosowano minimalna-model3-231 klientów do próby pilotażowej. Wydaje się dziwne, że w zadaniu, którego istotą jest znalezienie liczebności próby podaje się właśnie to, czego szukamy - a więc liczebność próby. Nie ma powodu do niepokoju - jest to liczebność próby wstępnej (jak podano w zadaniu), którą oznaczamy minimalna-model3-232 . Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami tabelarycznymi, to zawsze możemy policzyć średnią minimalna-model3-233 , wariancję minimalna-model3-234 i odchylenie standardowe minimalna-model3-235 (lub minimalna-model3-236 , minimalna-model3-237 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Przyjmując współczynnik ufności 0,96 oraz maksymalny błąd szacunku nieprzekraczający 0,5 minuty, oszacuj, czy wylosowana próba wstępna jest wystarczająca do oszacowania średniego czasu w populacji generalnej klientów.

Podano współczynnik ufności, a więc minimalna-model3-238 . Od razu wyznaczamy minimalna-model3-239 . Maksymalny błąd szacunku wynosi minimalna-model3-240 minuty. Szukamy liczebności próby właściwej, którą oznaczamy literą minimalna-model3-241 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA klienci domu towarowego
PRÓBA minimalna-model3-242 wybranych klientów
minimalna-model3-243 tabela z danymi (można obliczyć średnią minimalna-model3-244 , wariancję minimalna-model3-245 minimalna-model3-246 , odchylenie standardowe minimalna-model3-247 minimalna-model3-248 )

minimalna-model3-249

minimalna-model3-250 - współczynnik ufności, minimalna-model3-251

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy minimalna-model3-252 jest znana. Stwierdzamy, że minimalna-model3-253 nie jest znana , zatem wykluczamy model I. Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z próbą pilotażową, której liczebność jest większa niż 30 ( minimalna-model3-254 ) i istnieje możliwość wyliczenia minimalna-model3-255 z próby wstępnej na podstawie tabeli z danymi- wobec tego wybieramy model III .

minimalna-model3-256

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór minimalna-model3-257 konkretnymi liczbami. Jak widać brakuje tylko minimalna-model3-258 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć liczebności próby właściwej. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (czas w minutach) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

minimalna-model3-259 - warianty obserwacji (czas w minutach)
minimalna-model3-260 - liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba klientów)
minimalna-model3-261
minimalna-model3-262
minimalna-model3-263
minimalna-model3-264
minimalna-model3-265
minimalna-model3-266
minimalna-model3-267
minimalna-model3-268
minimalna-model3-269
minimalna-model3-270
minimalna-model3-271 (suma)
minimalna-model3-272

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością minimalna-model3-273 , ponieważ nie zdarza się, aby minimalna-model3-274 było zapisane w formie przedziałów. Symbol minimalna-model3-275 to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację minimalna-model3-276 , minimalna-model3-277 (kończymy przedział na 6, następny również zaczynamy od 6), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: minimalna-model3-278 . Jest też alternatywa minimalna-model3-279 minimalna-model3-280 , ale będziemy używać pierwszej wersji. Okazuje się, że do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru minimalna-model3-281 minimalna-model3-282 . Na początku wyjaśnijmy symbol minimalna-model3-283 . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły minimalna-model3-284 . Upraszczając, należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa. Wracamy do wzoru na średnią. Znak minimalna-model3-285 oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis minimalna-model3-286 , a nad nim minimalna-model3-287 , minimalna-model3-288 to środki kolejnych przedziałów , a minimalna-model3-289 liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszystko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny minimalna-model3-290 , gdzie minimalna-model3-291 będzie rosło od minimalna-model3-292 aż do wartości minimalna-model3-293 , czyli minimalna-model3-294 , a więc ogólnie:

minimalna-model3-295

W naszym przypadku minimalna-model3-296 znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

minimalna-model3-297 minimalna-model3-298 = minimalna-model3-299

Czym jest minimalna-model3-300 , minimalna-model3-301 oraz minimalna-model3-302 ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy w niej również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy
minimalna-model3-303 - czas w minutach
minimalna-model3-304 - środki przedziałów
minimalna-model3-305 - liczba klientów
minimalna-model3-306
minimalna-model3-307
minimalna-model3-308
minimalna-model3-309
minimalna-model3-310
minimalna-model3-311
minimalna-model3-312
minimalna-model3-313
minimalna-model3-314
minimalna-model3-315
minimalna-model3-316
minimalna-model3-317
minimalna-model3-318
minimalna-model3-319
minimalna-model3-320
minimalna-model3-321
minimalna-model3-322
minimalna-model3-323
minimalna-model3-324
minimalna-model3-325
minimalna-model3-326 klas
minimalna-model3-327 (suma)
minimalna-model3-328

Uzupełniając wzór średniej dla minimalna-model3-329 otrzymujemy:

minimalna-model3-330 minimalna-model3-331 = minimalna-model3-332 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższy niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość minimalna-model3-333 mnożymy przez odpowiadającą jej wartość minimalna-model3-334 , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem minimalna-model3-335 i kolumny minimalna-model3-336 daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy
minimalna-model3-337 - środki przedziałów
minimalna-model3-338 - liczba klientów
minimalna-model3-339
minimalna-model3-340
minimalna-model3-341
minimalna-model3-342
minimalna-model3-343
minimalna-model3-344
minimalna-model3-345
minimalna-model3-346
minimalna-model3-347
minimalna-model3-348
minimalna-model3-349
minimalna-model3-350
minimalna-model3-351
minimalna-model3-352
minimalna-model3-353
minimalna-model3-354
minimalna-model3-355
minimalna-model3-356
minimalna-model3-357
minimalna-model3-358
minimalna-model3-359
minimalna-model3-360
minimalna-model3-361
minimalna-model3-362

minimalna-model3-363

Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:

minimalna-model3-364

i dla minimalna-model3-365 :

minimalna-model3-366

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdego środka przedziału minimalna-model3-367 odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią minimalna-model3-368 , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości minimalna-model3-369 i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem minimalna-model3-370 i minimalna-model3-371 daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy
minimalna-model3-372 - środki przedziałów
minimalna-model3-373 - liczba klientów
minimalna-model3-374
minimalna-model3-375
minimalna-model3-376
minimalna-model3-377
minimalna-model3-378
minimalna-model3-379
minimalna-model3-380
minimalna-model3-381
minimalna-model3-382
minimalna-model3-383
minimalna-model3-384
minimalna-model3-385
minimalna-model3-386
minimalna-model3-387
minimalna-model3-388
minimalna-model3-389
minimalna-model3-390
minimalna-model3-391
minimalna-model3-392
minimalna-model3-393
minimalna-model3-394
minimalna-model3-395
minimalna-model3-396
minimalna-model3-397
minimalna-model3-398
minimalna-model3-399
minimalna-model3-400
minimalna-model3-401
minimalna-model3-402
minimalna-model3-403
minimalna-model3-404
minimalna-model3-405
minimalna-model3-406
minimalna-model3-407
minimalna-model3-408
minimalna-model3-409

minimalna-model3-410

Skoro udało nam się obliczyć wartość minimalna-model3-411 , to możemy wreszcie wrócić do głównej istoty naszego zadania i uzupełniamy wzór minimalna-model3-412 :

minimalna-model3-413

minimalna-model3-414

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/rnormalny.pdf . Zapis minimalna-model3-415 oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla minimalna-model3-416 . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku minimalna-model3-417 sumujemy minimalna-model3-418 i minimalna-model3-419 czyli minimalna-model3-420 .

minimalna-model3-421

Wracamy do obliczeń i podstawiamy minimalna-model3-422 (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

minimalna-model3-423

minimalna-model3-424

minimalna-model3-425

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: minimalna-model3-426 , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy minimalna-model3-427 .

Interpretacja brzmi następująco: Aby oszacować średni czas w populacji generalnej klientów z ufnością 0,96 do próby należy wylosować 453 osób (należy dolosować minimalna-model3-428 osób czyli próba nie jest wystarczająca).

Źródło: Mieczysław Sobczyk,Statystyka,Wydaw. Naukowe PWN, str. 216