Rozkład liczby usterek w wybranych losowo wyrobach produkowanych przez pewien zakład przedstawia tabela:

Jaka powinna być liczebność próby, aby oszacować przeciętną liczbę usterek z maksymalnym błędem równym 1 usterce na poziomie ufności 0,95?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

“ Jaka powinna być liczebność próby, aby oszacować przeciętną liczbę usterek z maksymalnym błędem równym 1 usterce na poziomie ufności 0,95? ”

Występują tu zwroty: jaka powinna być liczebność próby ... , z maksymalnym błędem równym ... . Odnajdujemy również wyrażenie: poziom ufności . Biorąc pod uwagę wszystkie słowa-klucze mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

Rozkład liczby usterek w wybranych losowo wyrobach produkowanych przez pewien zakład przedstawia tabela:

Z podanej tabeli wynika, że wylosowano sztuk wyrobów z różną ilością usterek do próby. Wydaje się dziwne, że w zadaniu, którego istotą jest znalezienie liczebności próby podaje się właśnie to, czego szukamy - a więc liczebność próby. Nie ma powodu do niepokoju - jest to liczebność próby wstępnej tzw. pilotażowej, którą oznaczamy . Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami tabelarycznymi, to zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

“ Jaka powinna być liczebność próby, aby oszacować przeciętną liczbę usterek z maksymalnym błędem równym 1 usterce na poziomie ufności 0,95? ”

Szukamy liczebności próby właściwej, którą oznaczamy literą . Maksymalny błąd szacunku wynosi usterka. Podano również poziom ufności, a więc . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wyroby produkowane przez zakład	PRÓBA wybranych wyrobów
	tabela z danymi (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy jest znana. Stwierdzamy, że nie jest znana , zatem wykluczamy model I. Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z próbą pilotażową, której liczebność jest większa niż 30 ( ) i istnieje możliwość wyliczenia z próby wstępnej na podstawie tabeli z danymi- wobec tego wybieramy model III .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać brakuje tylko , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć liczebności próby właściwej. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy nie są w formie przedziałów tzn. od … do... , tylko konkretnymi liczbami tzw. danymi punktowymi. Tak więc mamy do czynienia z szeregiem punktowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na ten szereg.

- liczba usterek	- liczba wyrobów
(suma)

Częstym problemem jest określenie, które dane należy określić oznaczeniem , a które . Najłatwiej rozpoznać po tym, że liczby w przypadku są w kolejności albo są uporządkowane. Wartości praktycznie nigdy nie są ustawione kolejno. Podobną sytuację mamy w powyższej tabeli.

Wzór na wariancję z danych szeregu punktowego wygląda następująco: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia .

W szeregu punktowym średnią liczymy ze wzoru . Objaśnijmy go. Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to wartości kolejnych obserwacji, a liczebności dla tych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny, gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc , czyli ogólnie:

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza liczbę klas (ilość wierszy w tabeli z danymi, ilość wariantów obserwacji). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest , oraz ? Wszystko to pokażmy dokładnie w tabeli:

Numer klasy	- liczba usterek	- liczba wyrobów
klas	(suma)

Uzupełniając wzór dla i otrzymujemy:

Oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru jest dość długi i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu punktowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą mu wartość , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem i kolumny daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy	- liczba usterek	- liczba wyrobów
	(suma)

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla oraz :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdej wariantu cechy odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy	- liczba usterek	- liczba wyrobów
	(suma)

A więc

Skoro udało nam się obliczyć wartość , to możemy wreszcie wrócić do głównej istoty naszego zadania i uzupełniamy wzór :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u , zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/rnormalny.pdf . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

Interpretacja brzmi następująco: Aby oszacować średnią liczbę usterek w wybranych losowo wyrobach produkowanych przez pewien zakład z ufnością 0,95 do próby należy wylosować 6 wyrobów (wylosowana wcześniej próba pilotażowa o liczebności 120 jest aż nadto wystarczająca).