NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

Waga (w dag) kartonów z sokiem napełnionych przez pewien automat ma rozkład normalny. Kontrola wybranych losowo sześciu opakowań dała następujące wyniki: 99, 102, 98, 100, 103, 99. Ile co najmniej należy wylosować opakowań, aby przy współczynniku ufności, 0,98 oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez ten automat z błędem nie większym niż 2 dag .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Ile co najmniej należy wylosować opakowań, aby przy współczynniku ufności, 0,98 oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez ten automat z błędem nie większym niż 2 dag.

Występują tu zwroty: ile co najmniej należy wylosować ... , z błędem nie większym niż .... Odnajdujemy również wyrażenie: współczynnik ufności . Biorąc pod uwagę wszystkie słowa-klucze mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

Waga (w dag) kartonów z sokiem napełnionych przez pewien automat ma rozkład normalny.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wagi kartonów i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać minimalna-model2-1002 - rozkład normalny o nieznanej średniej minimalna-model2-1003 i nieznanym odchyleniu standardowym minimalna-model2-1004 .

Kontrola wybranych losowo sześciu opakowań dała następujące wyniki: 99, 102, 98, 100, 103, 99.

Wydaje się dziwne, że w zadaniu, którego istotą jest znalezienie liczebności próby podaje się właśnie to, czego szukamy - a więc liczebność próby. Nie ma powodu do niepokoju - jest to liczebność próby wstępnej tzw. pilotażowej, którą oznaczamy minimalna-model2-1005 . Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią minimalna-model2-1006 , wariancję minimalna-model2-1007 i odchylenie standardowe minimalna-model2-1008 (lub minimalna-model2-1009 , minimalna-model2-1010 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Ile co najmniej należy wylosować opakowań, aby przy współczynniku ufności, 0,98 oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez ten automat z błędem nie większym niż 2 dag.

Szukamy liczebności próby właściwej, którą oznaczamy literą minimalna-model2-1011 . Podano również współczynnik ufności, a więc minimalna-model2-1012 . Od razu wyznaczamy minimalna-model2-1013 . Maksymalny błąd szacunku wynosi minimalna-model2-1014 dag.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA kartony z sokiem napełniane przez automat
PRÓBA minimalna-model2-1015 wybranych kartonów
minimalna-model2-1016 - rozkład normalny o nieznanej średniej minimalna-model2-1017 i nieznanym odchyleniu standardowym minimalna-model2-1018
minimalna-model2-1019 minimalna-model2-1020 -dane indywidualne (można obliczyć średnią minimalna-model2-1021 , wariancję minimalna-model2-1022 minimalna-model2-1023 , odchylenie standardowe minimalna-model2-1024 minimalna-model2-1025 )

minimalna-model2-1026

minimalna-model2-1027 - współczynnik ufności, minimalna-model2-1028

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy minimalna-model2-1029 jest znana. Stwierdzamy, że minimalna-model2-1030 nie jest znana , zatem wykluczamy model I. Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z próbą pilotażową, której liczebność jest mniejsza niż 30 ( minimalna-model2-1031 ). Dysponując danymi indywidualnymi jesteśmy w stanie wyliczyć minimalna-model2-1032 lub minimalna-model2-1033 - wobec tego wybieramy model II . Którą wersję wzoru wybierzemy, zależy od nas. Znacznie częściej używana jest wersja z minimalna-model2-1034 (z daszkiem), więc i ja wybiorę tą wersję.

minimalna-model2-1035

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór minimalna-model2-1036 konkretnymi liczbami.

Jak widać brakuje tylko minimalna-model2-1037 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć liczebności próby właściwej. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i w niewielkim stopniu powtarzają się, zatem wariancję nieobciążoną liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: minimalna-model2-1038 lub minimalna-model2-1039 minimalna-model2-1040 (obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Po określeniu wzoru na minimalna-model2-1041 okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia minimalna-model2-1042 , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: minimalna-model2-1043 minimalna-model2-1044 . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak minimalna-model2-1045 to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis minimalna-model2-1046 , a nad nim minimalna-model2-1047 , minimalna-model2-1048 to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem minimalna-model2-1049 , gdzie minimalna-model2-1050 będzie rosło od minimalna-model2-1051 aż do wartości minimalna-model2-1052 , a więc minimalna-model2-1053 :

minimalna-model2-1054

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

minimalna-model2-1055 minimalna-model2-1056

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi minimalna-model2-1057 , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

minimalna-model2-1058 minimalna-model2-1059

Czym jest minimalna-model2-1060 ? Są to konkretne wyniki z próby, a więc minimalna-model2-1061 . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. minimalna-model2-1062 .

Obliczamy średnią:

minimalna-model2-1063 minimalna-model2-1064

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję minimalna-model2-1065 . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

minimalna-model2-1066

i dla minimalna-model2-1067 :

minimalna-model2-1068

Możemy już podstawiać liczby za minimalna-model2-1069 , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartości minimalna-model2-1070 odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem minimalna-model2-1071 i minimalna-model2-1072 daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

minimalna-model2-1073
minimalna-model2-1074
minimalna-model2-1075
minimalna-model2-1076
minimalna-model2-1077
minimalna-model2-1078
minimalna-model2-1079
minimalna-model2-1080
minimalna-model2-1081
minimalna-model2-1082
minimalna-model2-1083
minimalna-model2-1084
minimalna-model2-1085
minimalna-model2-1086
minimalna-model2-1087
minimalna-model2-1088
minimalna-model2-1089
minimalna-model2-1090
minimalna-model2-1091
minimalna-model2-1092
minimalna-model2-1093
minimalna-model2-1094 (suma)
minimalna-model2-1095

A więc minimalna-model2-1096

Skoro obliczyliśmy minimalna-model2-1097 to możemy uzupełnić wzór minimalna-model2-1098 .

minimalna-model2-1099

minimalna-model2-1100

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t , zatem skorzystamy z tablic rozkładu t - Studenta: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/tstudent.pdf . Zapis minimalna-model2-1101 oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla minimalna-model2-1102 i 5 stopni swobody.

minimalna-model2-1103

Wracamy do obliczeń i podstawiamy do formuły minimalna-model2-1104 :

minimalna-model2-1105

minimalna-model2-1106

minimalna-model2-1107

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: minimalna-model2-1108 , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy minimalna-model2-1109 .

Interpretacja brzmi następująco: Aby oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez automat z ufnością 0,98 do próby należy wylosować 11 opakowań kartonów (albo dolosować do próby pilotażowej minimalna-model2-1110 opakowań).