Waga (w dag) kartonów z sokiem napełnionych przez pewien automat ma rozkład normalny. Kontrola wybranych losowo sześciu opakowań dała następujące wyniki: 99, 102, 98, 100, 103, 99. Ile co najmniej należy wylosować opakowań, aby przy współczynniku ufności, 0,98 oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez ten automat z błędem nie większym niż 2 dag .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

“ Ile co najmniej należy wylosować opakowań, aby przy współczynniku ufności, 0,98 oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez ten automat z błędem nie większym niż 2 dag. ”

Występują tu zwroty: ile co najmniej należy wylosować ... , z błędem nie większym niż .... Odnajdujemy również wyrażenie: współczynnik ufności . Biorąc pod uwagę wszystkie słowa-klucze mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

Waga (w dag) kartonów z sokiem napełnionych przez pewien automat ma rozkład normalny.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wagi kartonów i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Kontrola wybranych losowo sześciu opakowań dała następujące wyniki: 99, 102, 98, 100, 103, 99.

Wydaje się dziwne, że w zadaniu, którego istotą jest znalezienie liczebności próby podaje się właśnie to, czego szukamy - a więc liczebność próby. Nie ma powodu do niepokoju - jest to liczebność próby wstępnej tzw. pilotażowej, którą oznaczamy . Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

“ Ile co najmniej należy wylosować opakowań, aby przy współczynniku ufności, 0,98 oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez ten automat z błędem nie większym niż 2 dag. ”

Szukamy liczebności próby właściwej, którą oznaczamy literą . Podano również współczynnik ufności, a więc . Od razu wyznaczamy . Maksymalny błąd szacunku wynosi dag.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA kartony z sokiem napełniane przez automat	PRÓBA wybranych kartonów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym	-dane indywidualne (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy jest znana. Stwierdzamy, że nie jest znana , zatem wykluczamy model I. Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z próbą pilotażową, której liczebność jest mniejsza niż 30 ( ). Dysponując danymi indywidualnymi jesteśmy w stanie wyliczyć lub - wobec tego wybieramy model II . Którą wersję wzoru wybierzemy, zależy od nas. Znacznie częściej używana jest wersja z (z daszkiem), więc i ja wybiorę tą wersję.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

Jak widać brakuje tylko , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć liczebności próby właściwej. Wyliczanie wariancji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i w niewielkim stopniu powtarzają się, zatem wariancję nieobciążoną liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: lub (obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Po określeniu wzoru na okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis , a nad nim , to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem , gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc :

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Czym jest ? Są to konkretne wyniki z próby, a więc . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. .

Obliczamy średnią:

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla :

Możemy już podstawiać liczby za , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartości odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

(suma)

A więc

Skoro obliczyliśmy to możemy uzupełnić wzór .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t , zatem skorzystamy z tablic rozkładu t - Studenta: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/tstudent.pdf . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla i 5 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy do formuły :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

Interpretacja brzmi następująco: Aby oszacować średnią wagę kartonów napełnionych przez automat z ufnością 0,98 do próby należy wylosować 11 opakowań kartonów (albo dolosować do próby pilotażowej opakowań).