Dokonano 5 niezależnych pomiarów głębokości jeziora w pewnym punkcie. Stwierdzono, że średnia arytmetyczna wynosi 5 metrów, zaś wariancja 0,015 m ² . Przyjmując współczynnik ufności wskaż minimalną liczbę pomiarów gwarantującą co najmniej dwukrotną lepszą precyzję oszacowania głębokości:

a) 10 b) 13 c) 18 d) 20 e) inna liczba, jaka?............

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE MINIMALNEJ LICZEBNOŚCI PRÓBY?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

“ Przyjmując współczynnik ufności wskaż minimalną liczbę pomiarów gwarantującą co najmniej dwukrotną lepszą precyzję oszacowania głębokości ”

Występują tu zwroty: wskaż minimalną liczbę pomiarów... , precyzję oszacowania ... (inaczej błąd szacunku). Odnajdujemy również wyrażenie: współczynnik ufności . Biorąc pod uwagę wszystkie słowa-klucze mamy na pewno do czynienia z zadaniem dotyczącym minimalnej liczebności próby.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Czytamy zdanie po zdaniu.

Dokonano 5 niezależnych pomiarów głębokości jeziora w pewnym punkcie.

Dowiadujemy się, że dokonano 5 pomiarów, a więc wylosowano próbę. Wydaje się dziwne, że w zadaniu, którego istotą jest znalezienie liczebności próby podaje się właśnie to, czego szukamy - a więc liczebność próby. Nie ma powodu do niepokoju - jest to liczebność próby wstępnej (pilotażowej), którą oznaczamy pomiarów.

Stwierdzono, że średnia arytmetyczna wynosi 5 metrów, zaś wariancja 0,015 m ² .

Dowiadujemy się, że średnia w próbie wstępnej wynosi metrów, a wariancja to m ² . Oczywiście użyto symboli średniej i wariancji dla próby.

“ Przyjmując współczynnik ufności wskaż minimalną liczbę pomiarów gwarantującą co najmniej dwukrotną lepszą precyzję oszacowania głębokości ”

Podano współczynnik ufności, a więc . Od razu wyznaczamy . Szukamy liczebności próby właściwej, którą oznaczamy literą . Precyzja oszacowania, a więc maksymalny błąd szacunku nie jest jeszcze konkretną liczbą. Wiemy na razie tylko, że ma być on dwa razy lepszy od precyzji w próbie 5-elementowej, bo tylko taką mamy do porównania. Wrócimy do tego problemu w dalszych obliczeniach.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA punktowe pomiary głębokości jeziora	PRÓBA wybranych pomiarów głębokości

(dwa razy lepsze niż w przypadku próby 5-elementowej)

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla minimalnej liczebności próby mamy do wyboru pięć modeli. Teraz wracamy do danych i na początku sprawdzamy, czy jest znana. Stwierdzamy, że nie jest znana , zatem wykluczamy model I. Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z próbą pilotażową, której liczebność jest mniejsza niż 30 ( ) i znane jest - wobec tego wybieramy model II . Wybieramy wersję bez daszka, oczywiście można wybrać wersję z daszkiem, ale wypadałoby przeliczyć na .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Mamy gotową wartość , więc nie podnosimy jej ponownie do kwadratu.

I tu pojawia się problem, ponieważ w zadaniu nie ma konkretnej wartości , czyli maksymalnego błędu szacunku. Jednak mamy w treści zadania informację, że błąd ten ma być dwa razy lepszy od precyzji w próbie 5-elementowej. Ale jaki jest wzór na błąd w tejże próbie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie chwilowo wrócimy do estymacji przedziałowej i wybierzemy model, który pasuje do naszych danych (wzory na minimalną liczebność próby zostały wyprowadzone właśnie z modeli estymacji przedziałowej). Przypominam, że pierwsze trzy modele dotyczące minimalnej liczebności próby (w tym nasz model II) są ściśle związane z szacowaniem średniej w populacji. Wobec tego bierzemy pod uwagę modele estymacji średniej .

Mamy do wyboru trzy modele. Sprawdzamy: nie jest znana oraz liczebność jest mniejsza niż 30 ( ), zatem wybieramy model II . W danych mamy , więc interesuje nas wersja wzoru bez daszka.

No dobrze, wzór wybrany, ale nadal nie ma śladu . Przypominam, że we wzorze na dany model wartość to wielkość odjęta i dodana do średniej :

Zatem .

Wracamy do danych i uzupełniamy wzór:

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t , zatem skorzystamy z tablic rozkładu t - Studenta: http://matma-po-ludzku.pl/materialy/statystyka/wzory/tstudent.pdf . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla i 4 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy do formuły :

m

Właśnie obliczyliśmy błąd szacunku dla próby 5-elementowej, ale w tym zadaniu interesuje nas dwa razy lepsze niż w przypadku próby 5-elementowej. W tym momencie należy pomyśleć logicznie i absolutnie nie będziemy mnożyć przez 2! Precyzja oszacowania jest lepsza wtedy, gdy błąd szacunku jest niższy, a więc w naszym przypadku musimy dzielić na 2 wartość . Zatem żądany błąd szacunku do określenia minimalnej liczebności próby .

Teraz możemy wrócić do obliczeń na minimalną liczebność próby i otrzymujemy:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: , czyli czyli ZAWSZE zaokrąglając w górę otrzymujemy .

Interpretacja brzmi następująco: Aby oszacować głębokość jeziora z ufnością 0,95, należy wykonać 18 pomiarów, czyli odpowiedź C.