W pewnym uprzemysłowionym województwie 18 spośród 120 badanych przedsiębiorstw produkcyjnych wydaje ponad 2% swojego zysku na urządzenia i przedsięwzięcia związane z ochroną środowiska. Na poziomie ufności oszacować frakcję przedsiębiorstw prowadzących działalność proekologiczną w tym województwie.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Na poziomie ufności oszacować frakcję przedsiębiorstw prowadzących działalność proekologiczną w tym województwie.

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować frakcję przedsiębiorstw, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: poziom ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W pewnym uprzemysłowionym województwie 18 spośród 120 badanych przedsiębiorstw produkcyjnych wydaje ponad 2% swojego zysku na urządzenia i przedsięwzięcia związane z ochroną środowiska.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat badania konkretnej ilości przedsiębiorstw spośród wszystkich firm pewnego uprzemysłowionego województwa. Oznaczamy więc liczebność próby . Ponadto uzyskujemy informację, że 18 przedsiębiorstw spośród 120 wydaje swój zysk w wysokości 2% na cele proekologiczne - jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem .

Na poziomie ufności oszacować frakcję przedsiębiorstw prowadzących działalność proekologiczną w tym województwie.

Podano również współczynnik ufności , od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie przedsiębiorstwa pewnego uprzemysłowionego województwa	PRÓBA 120 wybranych przedsiębiorstw

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Na poziomie ufności oszacować frakcję przedsiębiorstw prowadzących działalność proekologiczną w tym województwie.

Słowo frakcja oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i  czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 frakcja przedsiębiorstw prowadzących działalność proekologiczną w tym województwie mieści się w przedziale od 0,086 do 0,214.