Zbadano efektywność wykorzystania czasu pracy w próbce 150 robotników i stwierdzono, że efektywne wykorzystywano 85%. Jaki jest przedział, w którym przy poziomie istotności zawarta jest efektywność wykorzystania czasu pracy (procent czasu efektywnie wykorzystywanego) w populacji robotników?

a) b) c) d)

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Jaki jest przedział, w którym przy poziomie istotności zawarta jest efektywność wykorzystania czasu pracy (procent czasu efektywnie wykorzystywanego) w populacji robotników?

Występuje tu zwrot: jaki jest przedział, w którym... - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Zbadano efektywność wykorzystania czasu pracy w próbce 150 robotników i stwierdzono, że efektywne wykorzystywano 85%.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości robotników. Oznaczamy więc liczebność próby . Ponadto dowiadujemy się, że 85% robotników efektywnie wykorzystuje czas pracy. Jest to procent czasu wykorzystywanego, a więc wskaźnik struktury w próbie. Opisujemy go symbolem .

Jaki jest przedział, w którym przy poziomie istotności zawarta jest efektywność wykorzystania czasu pracy (procent czasu efektywnie wykorzystywanego) w populacji robotników?

Podano poziom istotności . Jest to przeciwieństwo współczynnika ufności.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszyscy robotnicy	PRÓBA 150 wybranych robotników

- poziom istotności

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Jaki jest przedział, w którym przy poziomie istotności zawarta jest efektywność wykorzystania czasu pracy (procent czasu efektywnie wykorzystywanego) w populacji robotników?

Słowo procent oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy do wyboru dwie formuły. W danych wypisano w związku z tym użyjemy drugiego wzoru. Oczywiście można wybrać pierwszy wzór, bo są one równoważne, ale na początku należałoby wyliczyć ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby czyli m, a o to nas w zadaniu nie pytają, więc nie dokładajmy sobie dodatkowych niepotrzebnych obliczeń.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i  czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 procent czasu efektywnie wykorzystywanego w populacji robotników mieści się w przedziale od 0,793 do 0,907. Po zamianie na procent (czyli mnożenie przez 100%) przedział kształtuje się od 79,3% do 90,7%. Prawidłowa jest zatem odpowiedź B.