W pewnym osiedlu przeprowadzono pomiary powierzchni mieszkań i uzyskano wyniki:

Powierzchnia (w m2)	30 - 40	40 - 50	50 - 60	60 - 70
Liczba mieszkań	50	40	20	10

Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka mieszkań o powierzchni powyżej 50 m², na poziomie ufności . Czy otrzymany względny błąd losowy daje podstawę do bezpiecznego wnioskowania?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka mieszkań o powierzchni powyżej 50 m², na poziomie ufności .

Występują tu zwroty: wyznaczyć przedział ufności i poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dodatkowo interesuje nas względny błąd losowy, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. Do stworzenia wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. Będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej i dodatkowo policzymy względny błąd losowy.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W pewnym osiedlu przeprowadzono pomiary powierzchni mieszkań i uzyskano wyniki:

Powierzchnia (w m2)	30 - 40	40 - 50	50 - 60	60 - 70
Liczba mieszkań	50	40	20	10

Dysponujemy tabelą z danymi, na podstawie których można policzyć różne parametry dla próby np. średnią , wariancję , odchylenie standardowe , itd. Skąd wiemy, że jest to próba, a nie populacja? Populacja jest z reguły ogromną zbiorowością i jako całość jest niemożliwa do 100% zbadania. Tak więc mając w zadaniu tabelkę zawsze przyjmujemy, że jest to próba (chyba, że wyraźnie napisano, że tabela dotyczy populacji). Od razu możemy określić liczebność próby sumując liczbę badanych mieszkań, czyli . Innych parametrów próby na razie nie będziemy wyliczać, ponieważ może się okazać, że jest to niepotrzebne. Dopiero po wybraniu odpowiedniego wzoru okaże się, które parametry próby będą nas interesowały.

Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka mieszkań o powierzchni powyżej 50 m², na poziomie ufności .

Uzyskujemy informację, że trzeba zbudować przedział ufności dla odetka mieszkań o powierzchni powyżej 50 m², a więc są to (zgodnie z tabelą) powierzchnie 50 - 60 i 60 - 70 m². Ich liczba (na podstawie tabeli) to odpowiednio 20 i 10. Sumując otrzymujemy - jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem . Podano również poziom ufności i od razu wyznaczamy .

Czy otrzymany względny błąd losowy daje podstawę do bezpiecznego wnioskowania?

W tym zdaniu nie ma danych liczbowych, więc je pomijamy.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA mieszkania pewnego osiedla	PRÓBA 120 wybranych mieszkań

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka mieszkań o powierzchni powyżej 50 m², na poziomie ufności .

Słowo odsetek oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby .

Nadszedł czas by określić wzór na względny błąd losowy wskaźnika struktury .

lub , gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną wskaźnika struktury z próby :

czyli .

Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do wskaźnika struktury z próby.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i  czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

Z kolei względna precyzja szacunku:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,99 odsetek ogółu mieszkań o powierzchni powyżej 50 m² mieści się w przedziale od 0,148 do 0,352. Względny błąd losowy wynoszący 40,8% znacznie przekracza 10%, a więc wnioskowanie nie jest bezpiecznie i należy je niezwłocznie przerwać.

Jeśli interpretuje się względny błąd losowy to wartość poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku wskaźnik struktury) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych).