W wyniku badania religijności Polaków, przeprowadzonego w 1991 r. przez Główny Urząd Statystyczny na losowo wybranej grupie 5032 dorosłych osób, 2637 respondentów stwierdziło, iż systematycznie uczestniczy w praktykach religijnych.

1. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,98, oszacować metodą przedziałową odsetek ogółu dorosłych mieszkańców Polski, którzy w 1991 r. systematycznie uczestniczyli w praktykach religijnych.

2. Jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli współczynnik ufności zmniejszymy do poziomu 0,90?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,98, oszacować metodą przedziałową odsetek ogółu dorosłych mieszkańców Polski, którzy w 1991 r. systematycznie uczestniczyli w praktykach religijnych.

Występują tu zwroty: oszacować metodą przedziałową i poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. W ostatnim zdaniu (podpunkt 2) również odnajdziemy wyrażenie współczynnik ufności.

W drugiej części zadania interesuje nas precyzja oszacowania, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. Do stworzenia wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. Będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej i dodatkowo policzymy względną precyzję szacunku. Później ponownie policzymy precyzję oszacowania, przyjmiemy tylko inny współczynnik ufności i porównamy wyniki.

AD. 1.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W wyniku badania religijności Polaków, przeprowadzonego w 1991 r. przez Główny Urząd Statystyczny na losowo wybranej grupie 5032 dorosłych osób, 2637 respondentów stwierdziło, iż systematycznie uczestniczy w praktykach religijnych.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wybrania do próby konkretnej ilości osób spośród wszystkich dorosłych Polaków. Oznaczamy więc liczebność próby . Uzyskujemy również informację, że 2637 osób spośród 5032 systematycznie uczestniczy w praktykach religijnych - jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem .

1. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,98, oszacować metodą przedziałową odsetek ogółu dorosłych mieszkańców Polski, którzy w 1991 r. systematycznie uczestniczyli w praktykach religijnych.

Podano również współczynnik ufności , od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA dorośli Polacy	PRÓBA 5032 wybranych respondentów

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,98, oszacować metodą przedziałową odsetek ogółu dorosłych mieszkańców Polski, którzy w 1991 r. systematycznie uczestniczyli w praktykach religijnych.

Słowo odsetek oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i  czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

AD. 2.

Musimy porównać precyzję oszacowania po zmianie współczynnika ufności z 0,98 na 0,90. Właściwie już możemy podać precyzję oszacowania przy współczynniku ufności wynoszącym 0,98. A więc: lub , gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną wskaźnika struktury z próby :

czyli .

Formuła na obliczenie zawsze zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do wskaźnika struktury z próby.

Po wstawieniu danych otrzymujemy:

Teraz policzymy precyzję oszacowania dla współczynnika ufności , . Szacujemy ponownie wskaźnik struktury, a więc wzór na przedział ufności pozostaje bez zmian: i tym samym formuła na względny błąd szacunku nie ulega zmianie.

Po wstawieniu danych otrzymujemy:

Brakuje odpowiedniej statystyki z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego (link). Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla . Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i  czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego):

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Z podpunktu 1) ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,98 odsetek ogółu dorosłych mieszkańców Polski, którzy w 1991 r. systematycznie uczestniczyli w praktykach religijnych mieści się w przedziale od 0,508 do 0,54.

Z podpunktu 2) ostatecznie otrzymujemy względną precyzję szacunku i 

Interpretacja brzmi następująco:

Po zmniejszeniu współczynnika ufności z 0,98 to 0,90 procentowa wartość względnej precyzji szacunku ulega zwiększeniu i to jest uniwersalna zasada. Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież otrzymaliśmy mniejszą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zmniejszeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych).