W wyniku badania losowo wybranych gospodarstw domowych w Polsce otrzymano m.in. informację, że w 1290 gospodarstwach domowych mąż dokonuje comiesięcznych opłat za użytkowanie mieszkania oraz energię elektryczną. Ile gospodarstw znalazło się we wspomnianej losowej próbie, jeśli na podstawie jej wyników otrzymano przedział (28,9% ; 31,1%) dla nieznanego odsetka ogółu gospodarstw, w których mąż dokonuje comiesięcznych opłat za mieszkanie i energię elektryczną.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Ile gospodarstw znalazło się we wspomnianej losowej próbie, jeśli na podstawie jej wyników otrzymano przedział (28,9% ; 31,1%) dla nieznanego odsetka ogółu gospodarstw, w których mąż dokonuje comiesięcznych opłat za mieszkanie i energię elektryczną.

Występuje tu słowo: przedział - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Podano końcówki przedziału ufności (28,9% ; 31,1%), a szukana jest liczebność próby losowej z reguły występująca w danych, z tego względu określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W wyniku badania losowo wybranych gospodarstw domowych w Polsce otrzymano m.in. informację, że w 1290 gospodarstwach domowych mąż dokonuje comiesięcznych opłat za użytkowanie mieszkania oraz energię elektryczną.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości gospodarstw domowych. Samej liczebności próby nie podano, ale wiadomo, że w 1290 gospodarstwach z próby mąż dokonuje comiesięcznych opłat za użytkowanie mieszkania oraz energię elektryczną - jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby, które oznaczamy jako .

Ile gospodarstw znalazło się we wspomnianej losowej próbie, jeśli na podstawie jej wyników otrzymano przedział (28,9% ; 31,1%) dla nieznanego odsetka ogółu gospodarstw, w których mąż dokonuje comiesięcznych opłat za mieszkanie i energię elektryczną.

Podano również przedział ufności. Wiemy, że odsetek ogółu gospodarstw mieści się w przedziale od 28,9% do 31,1%. Od razu przeliczmy końcówki przedziału ufności z procentów na ułamki (dzielimy przez 100), a więc (0,289 ; 0,311). Naszą niewiadomą jest liczebność próby, a więc .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA ogół gospodarstw domowych w Polsce	PRÓBA wybranych gospodarstw

(0,289 ; 0,311) - końcówki przedziału ufności dla odsetka z populacji

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Ile gospodarstw znalazło się we wspomnianej losowej próbie, jeśli na podstawie jej wyników otrzymano przedział (28,9% ; 31,1%) dla nieznanego odsetka ogółu gospodarstw, w których mąż dokonuje comiesięcznych opłat za mieszkanie i energię elektryczną.

Słowo odsetek oznacza, że przedział ufności zbudowano dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Jak widać, niewiele zostało wpisane, ponieważ oprócz szukanego parametru nie możemy uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Nie znamy wartości i  , więc potraktujmy te parametry jako niewiadome i rozwiążemy układ równań aby je wyznaczyć. Wykorzystamy podane końcówki przedziału ufności. Dlaczego układ równań? Do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie, do wyznaczenia dwóch niewiadomych potrzebujemy układu dwóch równań. Wobec tego otrzymujemy:

Sam układ nie wygląda zbyt zachęcająco, ponieważ pojawiają się w nim pierwiastki, ale zauważmy, że wyrażenie znajduje się w obu równaniach z przeciwnymi znakami. Jest to wymarzona sytuacja z punktu widzenia rozwiązywania układu równań za pomocą metody przeciwnych współczynników, ponieważ po dodaniu stronami obu równań wyrażenie to po prostu zredukuje się do zera i zniknie, a więc:

Oczywiście możemy już obliczyć wartość , ale nie będziemy tego robić, ponieważ pytano nas tylko o liczebność próby . Jak widać tablice rozkładu normalnego w tym zadaniu są zbędne, ponieważ nie interesuje nas wartość współczynnika ufności.

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy liczebność próby . Interpretacja przedziału ufności nie jest w tym zadaniu potrzebna.