W 100-osobowej losowo wybranej próbie studentów 36 mieszkało na stale w Białymstoku. Przedział ufności wyznaczony dla odsetka ogółu studentów mieszkających w Białymstoku ma postać . Przy jakim współczynniku ufności wyznaczano ten przedział?

a) 0,98 b) 0,95 c) 0,99 d) 0,90

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przedział ufności wyznaczony dla odsetka ogółu studentów mieszkających w Białymstoku ma postać .

Występuje tu zwrot: przedział ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. W kolejnym zdaniu Przy jakim współczynniku ufności wyznaczano ten przedział? znajdujemy dodatkowo wyrażenie: współczynnik ufności.

Podano końcówki przedziału ufności , a szukany jest współczynnik ufności z reguły występujący w danych, z tego względu określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W 100-osobowej losowo wybranej próbie studentów 36 mieszkało na stale w Białymstoku.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród studentów. Oznaczamy więc liczebność próby . Ponadto uzyskujemy informację, że 36 osób spośród 100 mieszka na stałe w Białymstoku - jest to ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby. Opisujemy ją symbolem .

Przedział ufności wyznaczony dla odsetka ogółu studentów mieszkających w Białymstoku ma postać .

Podano również przedział ufności. Wiemy, że odsetek populacji studentów mieszkających w Białymstoku mieści się w przedziale od 26,579% do 45,408%. Od razu przeliczmy końcówki przedziału ufności z procentów na ułamki (dzielimy przez 100), a więc .

Przy jakim współczynniku ufności wyznaczano ten przedział?

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA studenci	PRÓBA 100 wybranych studentów

- końcówki przedziału ufności dla odsetka z populacji

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przedział ufności wyznaczony dla odsetka ogółu studentów mieszkających w Białymstoku ma postać .

Słowo odsetek oznacza, że przedział ufności zbudowano dla wskaźnika struktury p z populacji. Na wskaźnik struktury wskazuje również wypisana w danych ilość wyróżnionych obserwacji spośród próby oznaczana jako m. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wskaźnika struktury mamy dwie formuły. W danych wypisano m w związku z tym wybieramy pierwszy wzór. Oczywiście można użyć drugiego wzoru, bo są one równoważne, ale na początku należy wyliczyć wskaźnik struktury z próby .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Nie znamy wartości , więc potraktujmy ją jak niewiadomą i rozwiążemy równanie aby ją wyznaczyć. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 0,26579 czy 0,45408? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach jest tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. A więc na przykład:

Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać równania z literką x, to może nią spokojnie na początku zastąpić symbol .

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle. Najbliższą wartością we wnętrzu tablicy stanowi . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy i  , czyli . Pamiętajmy, że jest to .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności , a więc prawidłowa jest odpowiedź B.

Interpretacja brzmi następująco (nie jest tu potrzebna): Z ufnością 0,95 odsetek studentów zamieszkujących na stale w Białymstoku mieści się w przedziale od 26,579% do 45,408%.