ISBN 83-227-2423-3 str.117

Na podstawie informacji uzyskanych w 12 losowo wybranych stacjach meteorologicznych wyznaczono (w dniach) średnią długość okresu wegetacyjnego dnia oraz dnia. Zakładając, że rozkład badanej cechy jest normalny, zbuduj przedział ufności dla wariancji długości okresu wegetacyjnego. Przyjąć współczynnik ufności 0,95.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zakładając, że rozkład badanej cechy jest normalny, zbuduj przedział ufności dla wariancji długości okresu wegetacyjnego.

Występuje tu charakterystyczny dla tej grupy zadań zwrot: zbuduj przedział ufności , a dodatkowo w ostatnim zdaniu jest wyrażenie współczynnik ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Na podstawie informacji uzyskanych w 12 losowo wybranych stacjach meteorologicznych wyznaczono (w dniach) średnią długość okresu wegetacyjnego dnia oraz dnia.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich stacji meteorologicznych. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią i odchylenie standardowe . W tym przypadku nie ma żadnych wątpliwości co do oznaczeń.

Zakładając, że rozkład badanej cechy jest normalny, zbuduj przedział ufności dla wariancji długości okresu wegetacyjnego.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu długości okresu wegetacyjnego i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Przyjąć współczynnik ufności 0,95.

Podano również współczynnik ufności, a więc . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie stacje meteorologiczne	PRÓBA 12 wybranych stacji
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Zakładając, że rozkład badanej cechy jest normalny, zbuduj przedział ufności dla wariancji długości okresu wegetacyjnego.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 11 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 11 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja długości okresu wegetacyjnego mieści się w przedziale od 17,21 do 98,87 (dnia) ² .

Powstała dziwna jednostka - (dzień) ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.