ISBN 83-227-2423-3 str.117

Badano miesięczne wydatki studentów na cele kulturalne. Dla 20 wylosowanych studentów uzyskano średnią 60 zł oraz wariancję 225 (zł) ² . Przyjmując współczynnik ufności 0,95, oszacować metodą przedziałową wariancję wydatków na cele kulturalne w całej zbiorowości studentów. Zakładamy, że rozkład badanej cechy jest normalny.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując współczynnik ufności 0,95, oszacować metodą przedziałową wariancję wydatków na cele kulturalne w całej zbiorowości studentów.

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Badano miesięczne wydatki studentów na cele kulturalne.

W tym zdaniu nie ma danych liczbowych, więc je pomijamy.

Dla 20 wylosowanych studentów uzyskano średnią 60 zł oraz wariancję 225 (zł) ² .

Od tego zdania zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich studentów. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią i wariancję . Użyliśmy oczywiście oznaczeń dla próby. Mając wariancję można od razu wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji: .

Przyjmując współczynnik ufności 0,95, oszacować metodą przedziałową wariancję wydatków na cele kulturalne w całej zbiorowości studentów.

Podano również współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Zakładamy, że rozkład badanej cechy jest normalny.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wydatków studentów na cele kulturalne i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA zbiorowość studentów	PRÓBA 20 wybranych studentów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Przyjmując współczynnik ufności 0,95, oszacować metodą przedziałową wariancję wydatków na cele kulturalne w całej zbiorowości studentów.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 19 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 19 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja wydatków na cele kulturalne w całej zbiorowości studentów mieści się w przedziale od 136,98 do 505,22 (zł) ² .

Powstała dziwna jednostka - (zł) ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.