ISBN 83-7011-783-X str.279

Czas toczenia detalu ma rozkład . Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ² ].

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ² ].

Występują tu zwroty: oszacować metodą przedziałową i poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Czas toczenia detalu ma rozkład .

Zapis oznacza założenie normalności rozkładu czasu toczenia detali i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Mamy częściową informację na temat tego rozkładu, zatem możemy zapisać: - rozkład normalny o znanej średniej min. i nieznanym odchyleniu standardowym .

Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ² ].

Podano poziom ufności . Od razu wyznaczamy . W tym zdaniu zaczyna się również opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich detali. Oznaczamy więc liczebność próby . Znana jest także wariancja dla próby, czyli (oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby). Dysponując wartością wariancji można od razu wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji: .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie detale	PRÓBA 16 wybranych detali
- rozkład normalny o znanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować metodą przedziałową wariancję czasu toczenia detali na poziomie ufności , jeśli na podstawie 16-elementowej próby otrzymano wariancję równą 5 [min ² ].

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 15 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 15 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja czasu toczenia detali mieści się w przedziale od 3,20 do 11,02 [min ² ].

Powstała dziwna jednostka - min ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.