ISBN 978-83-01-13819-6 str.147

Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzewostanu w lesie o przewadze dębu, jeśli w 10 wylosowanych kwadratach o powierzchni jednego ara, średnia liczba wynosi , natomiast . Zakłada się, że rozkład gęstości drzew w lesie jest rozkładem normalnym. Należy przyjąć współczynnik ufności .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzewostanu w lesie o przewadze dębu, jeśli w 10 wylosowanych kwadratach o powierzchni jednego ara, średnia liczba wynosi , natomiast .

Występuje tu zwrot: zbudować przedział ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dodatkowo w ostatnim zdaniu znajduje się wyrażenie: współczynnik ufności .

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzewostanu w lesie o przewadze dębu, jeśli w 10 wylosowanych kwadratach o powierzchni jednego ara, średnia liczba wynosi , natomiast .

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich kwadratów o powierzchni jednego ara. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią i wariancję . W tym przypadku nie ma żadnych wątpliwości co do oznaczeń. Obojętne jest, który z zapisów czy zastosujemy - obydwa oznaczają to samo. Mając wariancję można od razu wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji: .

Zakłada się, że rozkład gęstości drzew w lesie jest rozkładem normalnym.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu gęstości drzew w lesie i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Należy przyjąć współczynnik ufności .

Podano również współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie kwadraty drzewostanu w lesie	PRÓBA 10 wybranych kwadratów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w pierwszym zdaniu wyłapujemy słowo:

Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzewostanu w lesie o przewadze dębu, jeśli w 10 wylosowanych kwadratach o powierzchni jednego ara, średnia liczba wynosi , natomiast .

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji. Bardzo często zamiast bezpośredniego zwrotu o wariacji lub odchyleniu standardowym występuje wyraz zróżnicowanie . Tu wskazano wyraźnie na wariancję i to właśnie ją będziemy szacować, ale gdyby nie narzucono nam tego w zadaniu to równie dobrze można szacować odchylenie standardowe.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

0

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

0

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,90 nieznana wariancja gęstości drzewostanu w lesie o przewadze dębu mieści się w przedziale od 0,59 do 3,01.