W pewnym przedsiębiorstwie produkcyjnym robotnicy obrabiają tokarką stalowe elementy. Wylosowano 9 elementów, dla których wartość nieobciążonej wariancji precyzji wykonania wynosiła 0,0001 mm ² . Na poziomie ufności 0,96 wyznaczyć przedział ufności dla wariacji precyzji ogółu elementów w zakładzie produkcyjnym.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Na poziomie ufności 0,96 wyznaczyć przedział ufności dla wariacji ogółu elementów w zakładzie produkcyjnym.

Występują tu zwroty: wyznaczyć przedział ufności i poziom ufnośc i - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W pewnym przedsiębiorstwie produkcyjnym robotnicy obrabiają tokarką stalowe elementy.

W tym zdaniu nie ma żadnych danych liczbowych ani innych istotnych informacji, zatem je pomijamy.

Wylosowano 9 elementów, dla których wartość nieobciążonej wariancji precyzji wykonania wynosiła 0,0001 mm ² .

W tym miejscu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich elementów. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również wartość nieobciążonej wariancji (symbol z daszkiem) dla próby, a więc . Od razu można wyznaczyć odchylenie standardowe .

Na poziomie ufności 0,96 wyznaczyć przedział ufności dla wariacji precyzji ogółu elementów w zakładzie produkcyjnym.

Podano również współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA elementy stalowe w przedsiębiorstwie	PRÓBA 9 wybranych elementów

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Na poziomie ufności 0,96 wyznaczyć przedział ufności dla wariacji precyzji ogółu elementów w zakładzie produkcyjnym.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas druga wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 8 stopni swobody. Niestety w tablicach nie odnajdujemy dokładnej wartości , zatem odczytamy wartość najbliższą, a więc :

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 8 stopni swobody. W tym przypadku również nie odnajdujemy w tablicach dokładnej wartości , zatem odczytamy wartość najbliższą, a więc :

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,96 nieznana wariancja precyzji ogółu elementów w zakładzie produkcyjnym mieści się w przedziale od 0,00046 do 0,000367 mm ² .

Powstała dziwna jednostka - mm ² (w końcu precyzję podaje się w mm, a mm ² to jednostka pola), ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.