W centrali telefonicznej dokonano 17 obserwacji długości losowo wybranych rozmów w ciągu jednego dnia i otrzymano (w min.): , . Na tej podstawie przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny, wyznaczyć 90%-ową realizację przedziału ufności dla wariancji czasu długości rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem centrali w danym dniu.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Na tej podstawie przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny, wyznaczyć 90%-ową realizację przedziału ufności dla wariancji czasu długości rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem centrali w danym dniu.

Występuje tu charakterystyczny dla tej grupy zadań zwrot: wyznaczyć 90%-ową realizację przedziału ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W centrali telefonicznej dokonano 17 obserwacji długości losowo wybranych rozmów w ciągu jednego dnia i otrzymano (w min.): , .

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich rozmów. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią i odchylenie standardowe . W tym przypadku nie ma żadnych wątpliwości co do oznaczeń.

Na tej podstawie przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny, wyznaczyć 90%-ową realizację przedziału ufności dla wariancji czasu długości rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem centrali w danym dniu.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu długości rozmów telefonicznych i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym . Podano również współczynnik ufności używając wyrażenia 90% realizacja przedziału ufności, tak więc . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA rozmowy telefoniczne przeprowadzane w centrali w ciągu jednego dnia	PRÓBA 17 wybranych rozmów telefonicznych
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Na tej podstawie przy założeniu, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny, wyznaczyć 90%-ową realizację przedziału ufności dla wariancji czasu długości rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem centrali w danym dniu.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 16 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 16 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja czasu długości rozmowy telefonicznej przeprowadzonej za pośrednictwem centrali w danym dniu mieści się w przedziale od 1,45 do 4,80 minut ² .

Powstała dziwna jednostka - minuty ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.