ISBN 83-7011-783-X str.281

Wartość nagród pracowników zatrudnionych w pewnym przedsiębiorstwie ma rozkład . Na podstawie poniższych danych, uzyskanych z 25-elementowej próby prostej pracowników wylosowanych spośród wszystkich pracowników zakładu:

Oszacować metodą przedziałową wariancję nagród na poziomie ufności 0,98.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Oszacować metodą przedziałową wariancję nagród na poziomie ufności 0,98.

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: oszacować metodą przedziałową i poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Wartość nagród pracowników zatrudnionych w pewnym przedsiębiorstwie ma rozkład .

Od razu występuje założenie normalności rozkładu wartości nagród pracowników i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Pierwsza liczba w nawiasie oznacza średnią w populacji, którą oznacza się . Całość zapisu interpretujemy jako rozkład normalny o znanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Na podstawie poniższych danych, uzyskanych z 25-elementowej próby prostej pracowników wylosowanych spośród wszystkich pracowników zakładu:

Następnie uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, ponieważ badamy określoną ilość pracowników. Liczebność próby to i od tego momentu będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli, to zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Oszacować metodą przedziałową wariancję nagród na poziomie ufności 0,98.

Podano też współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA pracownicy pewnego przedsiębiorstwa	PRÓBA 25 wybranych pracowników
- rozkład normalny o znanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym	- dane tabelaryczne (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Oszacować metodą przedziałową wariancję nagród na poziomie ufności 0,98.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma ani , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla wariancji. Wyliczanie wariacji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wartość nagrody) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

- warianty obserwacji (wartość nagrody)	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba pracowników)
(suma)

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością , ponieważ nie zdarza się, aby było zapisane w formie przedziałów. Symbol to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację , (kończymy przedział na 240, następny również zaczynamy od 240), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Okazuje się, że do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru . Na początku wyjaśnijmy symbol . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły . Upraszczając, należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa. Wracamy do wzoru na średnią. Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to środki kolejnych przedziałów , a liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszystko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny , gdzie będzie rosło od aż do wartości , czyli , a więc ogólnie:

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

=

Czym jest , oraz ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy w niej również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy	- warianty obserwacji (wartość nagrody)	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba pracowników)
	(suma)

Uzupełniając wzór średniej dla otrzymujemy:

= i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższy niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wartość , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem i kolumny daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:

i dla :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdego środka przedziału odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 24 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 24 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,98 nieznana wariancja nagród pracowników zatrudnionych w pewnym przedsiębiorstwie mieści się w przedziale od 693,90 do 2747,24 (zł) ² .

Powstała dziwna jednostka - (zł) ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.