NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

ISBN 83-7011-783-X str.278

Struktura wieku inwestorów giełdowych w pewnej grupie zawodowej jest następująca:

Wiek w latach
15 - 25
25 - 35
35 - 45
45 - 55
Liczba osób
2
5
10
9

Zakładając, że wiek ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 1597 , wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wieku na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 1598 .

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Zakładając, że wiek ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 1599 , wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wieku na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 1600 .

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: wyznaczyć przedział ufności i poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Struktura wieku inwestorów giełdowych w pewnej grupie zawodowej jest następująca:

Wiek w latach
15 - 25
25 - 35
35 - 45
45 - 55
Liczba osób
2
5
10
9

W zadaniu nie poinformowano bezpośrednio, że wylosowano próbę, ale podano w tabeli dane dotyczące inwestorów w pewnej grupie zawodowej. Możemy z dużą pewnością przyjąć, że jest to właśnie próba, ponieważ przedstawienie wieku całej populacji inwestorów jest zwyczajnie niemożliwe (to tak jakby pytano w sondażach wyborczych wszystkich obywateli - wybiera się grupę). W związku z tym, gdy w zadaniu pojawia się tabela i nie ma wskazań, że dotyczy populacji, przyjmujemy, że dane w niej zawarte dotyczą próby. Możemy również podać liczebność próby sumując liczbę osób z poszczególnych kategorii wiekowych, a więc Estymacja wariancji - obraz numer 1601 . Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 1602 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 1603 i odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 1604 (lub Estymacja wariancji - obraz numer 1605 , Estymacja wariancji - obraz numer 1606 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Zakładając, że wiek ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 1607 , wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wieku na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 1608 .

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wieku inwestorów i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać Estymacja wariancji - obraz numer 1609 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 1610 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 1611 . Podano też współczynnik ufności Estymacja wariancji - obraz numer 1612 . Od razu wyznaczamy Estymacja wariancji - obraz numer 1613 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA inwestorzy giełdowi w pewnej grupie zawodowej
PRÓBA 26 wybranych inwestorów
Estymacja wariancji - obraz numer 1614 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 1615 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 1616
Estymacja wariancji - obraz numer 1617 - dane tabelaryczne (można obliczyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 1618 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 1619 , odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 1620 )

Estymacja wariancji - obraz numer 1621 - współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 1622

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Zakładając, że wiek ma rozkład Estymacja wariancji - obraz numer 1623 , wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wieku na poziomie ufności Estymacja wariancji - obraz numer 1624 .

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 1625 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 1626 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 1627 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 1628 jest mniejsza od 30 Estymacja wariancji - obraz numer 1629 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja wariancji - obraz numer 1630 ani Estymacja wariancji - obraz numer 1631 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 1632

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 1633 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja wariancji - obraz numer 1634 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla wariancji. Wyliczanie wariacji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wiek w latach) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

Estymacja wariancji - obraz numer 1635 - warianty obserwacji (wiek w latach)
Estymacja wariancji - obraz numer 1636 - liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba osób)
Estymacja wariancji - obraz numer 1637
Estymacja wariancji - obraz numer 1638
Estymacja wariancji - obraz numer 1639
Estymacja wariancji - obraz numer 1640
Estymacja wariancji - obraz numer 1641
Estymacja wariancji - obraz numer 1642
Estymacja wariancji - obraz numer 1643
Estymacja wariancji - obraz numer 1644
Estymacja wariancji - obraz numer 1645 (suma)
Estymacja wariancji - obraz numer 1646

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego, co jest wariantem cechy, a co liczebnością Estymacja wariancji - obraz numer 1647 , ponieważ nie zdarza się, aby Estymacja wariancji - obraz numer 1648 było zapisane w formie przedziałów. Symbol Estymacja wariancji - obraz numer 1649 to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację Estymacja wariancji - obraz numer 1650 , Estymacja wariancji - obraz numer 1651 (kończymy przedział na 25, następny również zaczynamy od 25), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: Estymacja wariancji - obraz numer 1652 . Jest też alternatywa Estymacja wariancji - obraz numer 1653 Estymacja wariancji - obraz numer 1654 , ale będziemy używać pierwszej wersji. Okazuje się, że do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru Estymacja wariancji - obraz numer 1655 Estymacja wariancji - obraz numer 1656 . Na początku wyjaśnijmy symbol Estymacja wariancji - obraz numer 1657 . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły Estymacja wariancji - obraz numer 1658 . Upraszczając, należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa. Wracamy do wzoru na średnią. Znak Estymacja wariancji - obraz numer 1659 oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis Estymacja wariancji - obraz numer 1660 , a nad nim Estymacja wariancji - obraz numer 1661 , Estymacja wariancji - obraz numer 1662 to środki kolejnych przedziałów , a Estymacja wariancji - obraz numer 1663 liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszystko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny Estymacja wariancji - obraz numer 1664 , gdzie Estymacja wariancji - obraz numer 1665 będzie rosło od Estymacja wariancji - obraz numer 1666 aż do wartości Estymacja wariancji - obraz numer 1667 , czyli Estymacja wariancji - obraz numer 1668 , a więc ogólnie:

Estymacja wariancji - obraz numer 1669

W naszym przypadku Estymacja wariancji - obraz numer 1670 znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Estymacja wariancji - obraz numer 1671 Estymacja wariancji - obraz numer 1672 = Estymacja wariancji - obraz numer 1673

Czym jest Estymacja wariancji - obraz numer 1674 , Estymacja wariancji - obraz numer 1675 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 1676 ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy w niej również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy
Estymacja wariancji - obraz numer 1677 - warianty obserwacji (wiek w latach)
Estymacja wariancji - obraz numer 1678 - środki przedziałów
Estymacja wariancji - obraz numer 1679 - liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba osób)
Estymacja wariancji - obraz numer 1680
Estymacja wariancji - obraz numer 1681
Estymacja wariancji - obraz numer 1682
Estymacja wariancji - obraz numer 1683
Estymacja wariancji - obraz numer 1684
Estymacja wariancji - obraz numer 1685
Estymacja wariancji - obraz numer 1686
Estymacja wariancji - obraz numer 1687
Estymacja wariancji - obraz numer 1688
Estymacja wariancji - obraz numer 1689
Estymacja wariancji - obraz numer 1690
Estymacja wariancji - obraz numer 1691
Estymacja wariancji - obraz numer 1692
Estymacja wariancji - obraz numer 1693
Estymacja wariancji - obraz numer 1694
Estymacja wariancji - obraz numer 1695
Estymacja wariancji - obraz numer 1696
Estymacja wariancji - obraz numer 1697 (suma)
Estymacja wariancji - obraz numer 1698

Uzupełniając wzór średniej dla Estymacja wariancji - obraz numer 1699 otrzymujemy:

Estymacja wariancji - obraz numer 1700 Estymacja wariancji - obraz numer 1701 = Estymacja wariancji - obraz numer 1702 i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższy niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość Estymacja wariancji - obraz numer 1703 mnożymy przez odpowiadającą jej wartość Estymacja wariancji - obraz numer 1704 , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 1705 i kolumny Estymacja wariancji - obraz numer 1706 daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy
Estymacja wariancji - obraz numer 1707 - środki przedziałów
Estymacja wariancji - obraz numer 1708 - liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
Estymacja wariancji - obraz numer 1709
Estymacja wariancji - obraz numer 1710
Estymacja wariancji - obraz numer 1711
Estymacja wariancji - obraz numer 1712
Estymacja wariancji - obraz numer 1713
Estymacja wariancji - obraz numer 1714
Estymacja wariancji - obraz numer 1715
Estymacja wariancji - obraz numer 1716
Estymacja wariancji - obraz numer 1717
Estymacja wariancji - obraz numer 1718
Estymacja wariancji - obraz numer 1719
Estymacja wariancji - obraz numer 1720
Estymacja wariancji - obraz numer 1721
Estymacja wariancji - obraz numer 1722
Estymacja wariancji - obraz numer 1723
Estymacja wariancji - obraz numer 1724
Estymacja wariancji - obraz numer 1725
Estymacja wariancji - obraz numer 1726
Estymacja wariancji - obraz numer 1727
Estymacja wariancji - obraz numer 1728

Estymacja wariancji - obraz numer 1729

Dysponujemy wartością średniej, zatem możemy wrócić do obliczania wariancji. Rozpiszemy wzór analogicznie jak w przypadku średniej. Najpierw ogólnie:

Estymacja wariancji - obraz numer 1730

i dla Estymacja wariancji - obraz numer 1731 :

Estymacja wariancji - obraz numer 1732

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdego środka przedziału Estymacja wariancji - obraz numer 1733 odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią Estymacja wariancji - obraz numer 1734 , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości Estymacja wariancji - obraz numer 1735 i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 1736 i Estymacja wariancji - obraz numer 1737 daje kompletny licznik wzoru na wariancję).

Numer klasy
Estymacja wariancji - obraz numer 1738 - środki przedziałów
Estymacja wariancji - obraz numer 1739 - liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
Estymacja wariancji - obraz numer 1740
Estymacja wariancji - obraz numer 1741
Estymacja wariancji - obraz numer 1742
Estymacja wariancji - obraz numer 1743
Estymacja wariancji - obraz numer 1744
Estymacja wariancji - obraz numer 1745
Estymacja wariancji - obraz numer 1746
Estymacja wariancji - obraz numer 1747
Estymacja wariancji - obraz numer 1748
Estymacja wariancji - obraz numer 1749
Estymacja wariancji - obraz numer 1750
Estymacja wariancji - obraz numer 1751
Estymacja wariancji - obraz numer 1752
Estymacja wariancji - obraz numer 1753
Estymacja wariancji - obraz numer 1754
Estymacja wariancji - obraz numer 1755
Estymacja wariancji - obraz numer 1756
Estymacja wariancji - obraz numer 1757
Estymacja wariancji - obraz numer 1758
Estymacja wariancji - obraz numer 1759
Estymacja wariancji - obraz numer 1760
Estymacja wariancji - obraz numer 1761
Estymacja wariancji - obraz numer 1762
Estymacja wariancji - obraz numer 1763
Estymacja wariancji - obraz numer 1764
Estymacja wariancji - obraz numer 1765
Estymacja wariancji - obraz numer 1766
Estymacja wariancji - obraz numer 1767
Estymacja wariancji - obraz numer 1768
Estymacja wariancji - obraz numer 1769

Estymacja wariancji - obraz numer 1770

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 1771 :

Estymacja wariancji - obraz numer 1772

Estymacja wariancji - obraz numer 1773

Estymacja wariancji - obraz numer 1774

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 1775 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja wariancji - obraz numer 1776 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 1777 . Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 1778 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 1779 i 25 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 1780

Z kolei zapis Estymacja wariancji - obraz numer 1781 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 1782 i 25 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 1783

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja wariancji - obraz numer 1784 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 1785 :

Estymacja wariancji - obraz numer 1786

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja wariancji - obraz numer 1787

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,98 nieznana wariancja wieku ogółu inwestorów giełdowych w pewnej grupie zawodowej mieści się w przedziale od 49,65 do 192,58 (lat) 2 .

Powstała dziwna jednostka - (lat) 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.