NEW
Kategoria-Matematyka Kategoria-Statystyka Kategoria-Korepetycje
Kategoria-Matematyka.Podkategoria-PrzydatneWzory Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Gimnazjum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Liceum Kategoria-Matematyka.Podkategoria-Studia Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wzory Kategoria-Statystyka.Podkategoria-StatystykaOpisowa Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Wnioskowanie Kategoria-Statystyka.Podkategoria-Testy Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Matematyka Kategoria-Korepetycje.Podkategoria-Statystyka
 

ISBN 978-83-7252-474-4 str.171

Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty. Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173. Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 428 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 429 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: zbudować przedział ufności i współczynnik ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Spośród osób wpłacających w okienku kasowym pewnego urzędu pocztowego należności z tytułu usług telekomunikacyjnych wylosowano 10 osób i zanotowano wysokość wpłacanej kwoty.

Od razu uzyskujemy informację, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to Estymacja wariancji - obraz numer 430 osób i od tego momentu będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Uzyskano następujące wyniki (w zł): 200, 180, 160, 202, 158, 176, 187, 169, 195, 173.

Podano również informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 431 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 432 i odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 433 (lub Estymacja wariancji - obraz numer 434 , Estymacja wariancji - obraz numer 435 ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwoty jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 436 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu wysokości wpłacanych kwot i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko przepisać Estymacja wariancji - obraz numer 437 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 438 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 439 . Podano też współczynnik ufności Estymacja wariancji - obraz numer 440 . Od razu wyznaczamy Estymacja wariancji - obraz numer 441 .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA
osoby dokonujące opłat na poczcie z tytułu usług telekomunikacyjnych
PRÓBA
10 wybranych osób
Estymacja wariancji - obraz numer 442 - rozkład normalny o nieznanej średniej Estymacja wariancji - obraz numer 443 i nieznanym odchyleniu standardowym Estymacja wariancji - obraz numer 444
Estymacja wariancji - obraz numer 445 Estymacja wariancji - obraz numer 446 - dane indywidualne (można obliczyć średnią Estymacja wariancji - obraz numer 447 , wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 448 , odchylenie standardowe Estymacja wariancji - obraz numer 449 )

Estymacja wariancji - obraz numer 450 - współczynnik ufności, Estymacja wariancji - obraz numer 451

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Przyjmując, że wysokość wpłacanej kwot jest zmienną losową o rozkładzie normalnym Estymacja wariancji - obraz numer 452 oraz wykorzystując uzyskane dane, zbudować przedział ufności dla wariancji wpłat, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji Estymacja wariancji - obraz numer 453 z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest Estymacja wariancji - obraz numer 454 znana i jaka jest liczebność próby. Estymacja wariancji - obraz numer 455 nie jest znana , a liczebność próby Estymacja wariancji - obraz numer 456 jest mniejsza od 30 Estymacja wariancji - obraz numer 457 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma Estymacja wariancji - obraz numer 458 ani Estymacja wariancji - obraz numer 459 , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

Estymacja wariancji - obraz numer 460

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 461 konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko Estymacja wariancji - obraz numer 462 , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla wariancji. Wyliczanie wariacji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej.

Dysponujemy danymi indywidualnymi (wynikami wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i nie powtarzają się, zatem wariację liczymy ze wzoru związanego z danymi indywidualnymi: Estymacja wariancji - obraz numer 463 lub Estymacja wariancji - obraz numer 464 Estymacja wariancji - obraz numer 465 (obie wersje są równoważne, w praktyce pierwsza wersja jest częściej używana). Teraz okazuje się, że w formule pozwalającej wyznaczyć wariancję potrzebna jest wartość średnia Estymacja wariancji - obraz numer 466 , więc to od niej należy zacząć obliczenia.

Wzór na średnią z danych indywidualnych wygląda następująco: Estymacja wariancji - obraz numer 467 Estymacja wariancji - obraz numer 468 . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a podany wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię podobnych oznaczeń rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak Estymacja wariancji - obraz numer 469 to symbol sumy. Pod nim znajduje się zapis Estymacja wariancji - obraz numer 470 , a nad nim Estymacja wariancji - obraz numer 471 , Estymacja wariancji - obraz numer 472 to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy dodawać kolejne obserwacje oznaczone symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 473 , gdzie Estymacja wariancji - obraz numer 474 będzie rosło od Estymacja wariancji - obraz numer 475 aż do wartości Estymacja wariancji - obraz numer 476 , a więc Estymacja wariancji - obraz numer 477 :

Estymacja wariancji - obraz numer 478

Tak więc średnia po rozpisaniu wygląda następująco:

Estymacja wariancji - obraz numer 479 Estymacja wariancji - obraz numer 480

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi Estymacja wariancji - obraz numer 481 , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Estymacja wariancji - obraz numer 482 Estymacja wariancji - obraz numer 483

Czym jest Estymacja wariancji - obraz numer 484 ? Są to konkretne wyniki z próby, a więc Estymacja wariancji - obraz numer 485 . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie wykonać. Porządkowanie liczb nie wpływa na wartość średniej, także może zostać tak jak jest. A więc np. Estymacja wariancji - obraz numer 486 .

Obliczamy średnią:

Estymacja wariancji - obraz numer 487 Estymacja wariancji - obraz numer 488

Dysponując wartością liczbową średniej możemy obliczyć wariancję Estymacja wariancji - obraz numer 489 . Rozpisanie wzoru wykonujemy analogicznie jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

Estymacja wariancji - obraz numer 490

i dla Estymacja wariancji - obraz numer 491 :

Estymacja wariancji - obraz numer 492

Możemy już podstawiać liczby za Estymacja wariancji - obraz numer 493 , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdej wartości Estymacja wariancji - obraz numer 494 odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem Estymacja wariancji - obraz numer 495 i Estymacja wariancji - obraz numer 496 daje kompletny licznik wzoru na wariancję )

Estymacja wariancji - obraz numer 497
Estymacja wariancji - obraz numer 498
Estymacja wariancji - obraz numer 499
Estymacja wariancji - obraz numer 500
Estymacja wariancji - obraz numer 501
Estymacja wariancji - obraz numer 502
Estymacja wariancji - obraz numer 503
Estymacja wariancji - obraz numer 504
Estymacja wariancji - obraz numer 505
Estymacja wariancji - obraz numer 506
Estymacja wariancji - obraz numer 507
Estymacja wariancji - obraz numer 508
Estymacja wariancji - obraz numer 509
Estymacja wariancji - obraz numer 510
Estymacja wariancji - obraz numer 511
Estymacja wariancji - obraz numer 512
Estymacja wariancji - obraz numer 513
Estymacja wariancji - obraz numer 514
Estymacja wariancji - obraz numer 515
Estymacja wariancji - obraz numer 516
Estymacja wariancji - obraz numer 517
Estymacja wariancji - obraz numer 518
Estymacja wariancji - obraz numer 519
Estymacja wariancji - obraz numer 520
Estymacja wariancji - obraz numer 521
Estymacja wariancji - obraz numer 522
Estymacja wariancji - obraz numer 523
Estymacja wariancji - obraz numer 524
Estymacja wariancji - obraz numer 525
Estymacja wariancji - obraz numer 526
Estymacja wariancji - obraz numer 527
Estymacja wariancji - obraz numer 528
Estymacja wariancji - obraz numer 529
Estymacja wariancji - obraz numer 530 (suma)
Estymacja wariancji - obraz numer 531

A więc Estymacja wariancji - obraz numer 532

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór Estymacja wariancji - obraz numer 533 :

Estymacja wariancji - obraz numer 534

Estymacja wariancji - obraz numer 535

Estymacja wariancji - obraz numer 536

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka Estymacja wariancji - obraz numer 537 (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: Estymacja wariancji - obraz numer 538 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 539 . Zapis Estymacja wariancji - obraz numer 540 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 541 i 9 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 542

Z kolei zapis Estymacja wariancji - obraz numer 543 oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla Estymacja wariancji - obraz numer 544 i 9 stopni swobody:

Estymacja wariancji - obraz numer 545

Wracamy do obliczeń i podstawiamy Estymacja wariancji - obraz numer 546 oraz Estymacja wariancji - obraz numer 547 :

Estymacja wariancji - obraz numer 548

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: Estymacja wariancji - obraz numer 549

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,95 nieznana wariancja wpłat w populacji mieści się w przedziale od 117,12 do 825,19 (zł) 2 .

Powstała dziwna jednostka - (zł) 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.