Waga przesyłek przewożonych w pewnej firmie charakteryzuje się rozkładem normalnym. W próbie losowej liczącej 10 przesyłek otrzymano następujące wyniki: oraz . Na poziomie ufności 0,99 oszacować przedział dla wariancji przesyłek dostarczanych przez daną firmę.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Na poziomie ufności 0,99 oszacować przedział dla wariancji przesyłek dostarczanych przez daną firmę.

Występują tu charakterystyczne dla tej grupy zadań zwroty: oszacować przedział i poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Waga przesyłek przewożonych w pewnej firmie charakteryzuje się rozkładem normalnym.

Na wstępie występuje założenie normalności rozkładu wagi przesyłek i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

W próbie losowej liczącej 10 przesyłek otrzymano następujące wyniki: oraz .

W tym zdaniu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich przesyłek. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również dziwne symbole z wartościami liczbowymi. Na razie jednak nie będziemy wnikać, co oznaczają. Dopiero na etapie obliczeń wrócimy do nich i rozszyfrujemy. Na pewno wiemy, że dotyczą próby.

Na poziomie ufności 0,99 oszacować przedział dla wariancji przesyłek dostarczanych przez daną firmę.

Podano również współczynnik ufności, a więc . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA przesyłki przewożone w pewnej firmie	PRÓBA 10 wybranych przesyłek
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Na poziomie ufności 0,99 oszacować przedział dla wariancji przesyłek dostarczanych przez daną firmę.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych nie ma ani , więc nie ma znaczenia, którą wersję wzoru wybierzemy. Z reguły interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Jak widać brakuje tylko , więc dopóki nie znajdziemy wartości tego parametru nie możemy obliczyć końcówek przedziału ufności dla wariancji. Wyliczanie wariacji z próby jest zagadnieniem ze statystki opisowej. Nie dysponujemy wynikami z próby tj. konkretnymi wagami poszczególnych 10 przesyłek i trudno będzie użyć standardowego wzoru na wariancję.

Teraz siłą rzeczy wracamy do danych i dziwnych symboli, które wypisaliśmy w analizie zadania. Pierwszy z nich to . Symbol oznacza sumę. Pod nim znajduje się zapis , a powyżej . Ta oznacza ilość elementów, które będą sumowane. Oznaczenie to poszczególne obserwacje (w tym przypadku wagi przesyłek). Cały symbol oznacza, że będziemy dodawać kolejne wartości , gdzie będzie się zmieniało od 1 do 10, a więc po rozpisaniu:

Oznacza to, że łączna waga wylosowanych 10 przesyłek jest równa 12.

Drugi z symboli: interpretujemy podobnie:

Po rozpisaniu dowiadujemy się, że suma kwadratów wag wylosowanych paczek wynosi 14,436.

Wszystko pięknie, ale jaki ma to związek z szukaną wariancją z próby? Istnieje wzór, który jest dość rzadko wykorzystywany, ale zawiera wcześniej omówione symbole. Chociaż nie znamy wag poszczególnych przesyłek, użyjemy wzoru na wariancję dla danych indywidualnych, ponieważ próba jest mała (10 przesyłek) i na dobrą sprawę gdybyśmy (hipotetycznie) znali poszczególne wartości wag z próby, najpewniej wypisalibyśmy je po przecinku, a nie tworzyli tabelę.

Szukany wzór to: .

Dla otrzymujemy:

Jak widać brakuje średniej . Zadajmy sobie zatem pytanie, jak najnormalniej w świecie liczymy średnią? Sumujemy wszystkie wartości z obserwacji i dzielimy przez ich ilość, czyli mając 10 obserwacji średnia wygląda następująco:

Licznik powstałego ułamka możemy zastąpić znanym nam symbolem:

=

Wiedząc, że otrzymujemy średnią:

Wracamy do wzoru na wariancję i uzupełniamy go do końca:

Wreszcie możemy wrócić do istoty zadania i uzupełnić wzór :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,99 nieznana wariancja przesyłek dostarczanych przez daną firmę mieści się w przedziale od 0,0015 do 0,0207.