ISBN 83-208-1107-4 str. 86

Badanie dokładności przyrządu pomiarowego dostarczyło następujących informacji: średnia długość badanego odcinka w 5 kolejnych pomiarach wynosiła 20,15 mm, a odchylenie standardowe stanowiło 0,2% pomiaru przeciętnego. Przy jakim poziomie współczynnika ufności oszacowano przedział dla nieznanej wariancji pomiarów, jeśli miał on postać: (0,00061 ; 0,02734)?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Przy jakim poziomie współczynnika ufności oszacowano przedział dla nieznanej wariancji pomiarów, jeśli miał on postać: (0,00061 ; 0,02734)?

Występują tu zwroty: oszacowano przedział i współczynnik ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Podano końcówki przedziału ufności (0,00061 ; 0,02734), a szukana jest wartość współczynnika ufności z reguły występująca w danych, z tego względu określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Badanie dokładności przyrządu pomiarowego dostarczyło następujących informacji: średnia długość badanego odcinka w 5 kolejnych pomiarach wynosiła 20,15 mm, a odchylenie standardowe stanowiło 0,2% pomiaru przeciętnego.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wykonania kilku pomiarów, a to oznacza próbę losową. Zapisujemy więc liczebność próby jako . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią i odchylenie standardowe jako 0,2% średniej, a więc: . Oczywiście użyto oznaczeń dla próby.

Przy jakim poziomie współczynnika ufności oszacowano przedział dla nieznanej wariancji pomiarów, jeśli miał on postać: (0,00061 ; 0,02734)?

Niewiadomą jest współczynnik ufności, a więc . Znamy również końcówki przedziału ufności dla wariancji.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA badane odcinki	PRÓBA 5 wybranych odcinków

- współczynnik ufności,

(0,00061 ; 0,02734) - końcówki przedziału ufności

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który był oszacowany przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Przy jakim poziomie współczynnika ufności oszacowano przedział dla nieznanej wariancji pomiarów, jeśli miał on postać: (0,00061 ; 0,02734)?

Słowo wariancja oznacza, że przedział ufności został zbudowany oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Na tym etapie na razie poprzestajemy, ponieważ nie jesteśmy w stanie uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu chi-kwadrat, bo w formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Nie znamy wartości ani , więc możemy odnieść wrażenie, że mamy dwie nieznane wielkości. Jednak nie jest tak do końca, ponieważ obie z nich zależą od tej samej wartości , wobec tego na dobrą sprawę mamy do czynienia z jedną niewiadomą. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 0,00061 czy 0,02734? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach jest przecież tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. Wybierzemy zapis , ponieważ wydaje się mniej skomplikowany, oczywiście można użyć i ostateczny wynik nie ulegnie zmianie.

Sposób rozwiązania powstałego równania zależy wyłącznie od Was, jeśli oznaczenie wydaje się przerażające można je tymczasowo zastąpić chociażby .

I już od razu lepiej to wygląda, prawda?

Wymnażamy przez aby pozbyć się kreski ułamkowej:

Dzielimy przez 0,00061 w celu otrzymania :

(wynik został zaokrąglony do trzech miejsc po przecinku)

Ostatecznie

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu chi - kwadrat, przy czym zapis wskazuje nam, że bierzemy pod uwagę tylko wiersz z 4 stopniami swobody.

Najbliższą wartością statystki , znalezioną w tablicy na poziomie 4 stopni swobody jest 13,277. Odpowiada ona dla prawdopodobieństwa równego 0,01. Specjalnie nie używam symbolu , ponieważ na tym etapie pojawia się najwięcej błędów. Dlaczego? W zapisie dopiero po podzieleniu przez 2 jest odczytywana z tablic, czyli . Zatem ostatecznie - i to ta wartość ląduje we współczynniku ufności.

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności .

Interpretacja brzmi następująco (nie jest tu potrzebna): Z ufnością 0,98 nieznana wariancja pomiarów odcinka mieści się w przedziale od 0,00061 do 0,02734 mm ² .

Powstała dziwna jednostka - (mm) ² - to przecież pole określa się w jednostkach kwadratowych, ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.