NEW | ||||||
ISBN 83-208-1107-4 str. 85-86 Na podstawie wyników 10-elementowej próby pracowników spółki oszacowano przedziałowo wariancję pożyczek udzielanych z kasy zapomogowo-pożyczkowej wszystkim pracownikom. Oszacowany przedział ma postać: (5910,5148 ; 30075,188) PLN 2 . Jaki poziom współczynnik ufności przyjęto przy estymacji, jeśli dodatkowo wiadomo, że odchylenie standardowe pożyczanych kwot w zbadanej próbie wynosiło 100 PLN? 1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie: Na podstawie wyników 10-elementowej próby pracowników spółki oszacowano przedziałowo wariancję pożyczek udzielanych z kasy zapomogowo-pożyczkowej wszystkim pracownikom. Występuje tu zwrot: oszacowano przedziałowo - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Kolejne zdanie potwierdza wcześniejszy wniosek: Oszacowany przedział ma postać: (5910,5148 ; 30075,188) PLN 2 . Znowu znajdujemy zwrot: oszacowany przedział , którego końcówki określono konkretnymi liczbami. Dodatkowo w ostatnim zdaniu użyto wyrażenia współczynnik ufności . Podano końcówki przedziału ufności (5910,5148 ; 30075,188), a szukana jest wartość współczynnika ufności z reguły występująca w danych, z tego względu określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje. 2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.Analizujemy zdanie po zdaniu. Na podstawie wyników 10-elementowej próby pracowników spółki oszacowano przedziałowo wariancję pożyczek udzielanych z kasy zapomogowo-pożyczkowej wszystkim pracownikom. Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości osób spośród wszystkich pracowników spółki. Zapisujemy więc liczebność próby jako . Oszacowany przedział ma postać: (5910,5148 ; 30075,188) PLN 2 . Znamy również końcówki przedziału ufności dla wariancji. Jaki poziom współczynnik ufności przyjęto przy estymacji, jeśli dodatkowo wiadomo, że odchylenie standardowe pożyczanych kwot w zbadanej próbie wynosiło 100 PLN? Niewiadomą jest współczynnik ufności, a więc . Podano również jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. odchylenie standardowe . Oczywiście użyto oznaczenia dla próby. Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
- współczynnik ufności, (5910,5148 ; 30075,188) - końcówki przedziału ufności 3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.Szukamy parametru, który był oszacowany przedziałem ufności i w pierwszym zdaniu wyłapujemy słowo: Na podstawie wyników 10-elementowej próby pracowników spółki oszacowano przedziałowo wariancję pożyczek udzielanych z kasy zapomogowo-pożyczkowej wszystkim pracownikom. Słowo wariancja oznacza, że przedział ufności został zbudowany oczywiście dla wariancji z populacji. Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.
Na tym etapie na razie poprzestajemy, ponieważ nie jesteśmy w stanie uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu chi-kwadrat, bo w formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.
Nie znamy wartości ani , więc możemy odnieść wrażenie, że mamy dwie nieznane wielkości. Jednak nie jest tak do końca, ponieważ obie z nich zależą od tej samej wartości , wobec tego na dobrą sprawę mamy do czynienia z jedną niewiadomą. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 5910,5148 czy 30075,188? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach jest przecież tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. Wybierzemy zapis , ponieważ wydaje się mniej skomplikowany, oczywiście można użyć i ostateczny wynik nie ulegnie zmianie.
Sposób rozwiązania powstałego równania zależy wyłącznie od Was, jeśli oznaczenie wydaje się przerażające można je tymczasowo zastąpić chociażby .
I już od razu lepiej to wygląda, prawda? Wymnażamy przez aby pozbyć się kreski ułamkowej:
Dzielimy przez 5910,5148 w celu otrzymania :
Ostatecznie Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu chi - kwadrat, przy czym zapis wskazuje nam, że bierzemy pod uwagę tylko wiersz z 9 stopniami swobody.
W tablicy w wierszu z 9 stopniami swobody znajdujemy dokładną wartość statystyki: 16,919. Odpowiada ona dla prawdopodobieństwa równego 0,05. Specjalnie nie używam symbolu , ponieważ na tym etapie pojawia się najwięcej błędów. Dlaczego? W zapisie dopiero po podzieleniu przez 2 jest odczytywana z tablic, czyli . Zatem ostatecznie - i to ta wartość ląduje we współczynniku ufności. 5. WYNIK I INTERPRETACJA.Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności . Interpretacja brzmi następująco (nie jest tu potrzebna): Z ufnością 0,9 nieznana wariancja pożyczek udzielanych z kasy zapomogowo-pożyczkowej wszystkim pracownikom mieści się w przedziale od 5910,5148 do 30075,188 PLN 2 . Powstała dziwna jednostka - (PLN) 2 , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej. |
||||||