W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg. Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując: . Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?

a) 0,99 b) 0,98 c) 0,96 d) 0,95 e) żadna odpowiedź nie jest poprawna

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując: .

Występuje tu zwrot: oszacowano przedział ufności i został on już konkretnie określony - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Dodatkowo w ostatnim zdaniu użyto wyrażenia współczynnik ufności .

Podano końcówki przedziału ufności , a szukana jest wartość współczynnika ufności z reguły występująca w danych, z tego względu określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W celu zbadania zróżnicowania wagi konserw produkowanych przez pewnego producenta wylosowano 15 konserw, dla których średnia waga wynosiła 1 kg z odchyleniem standardowym 0,15 kg.

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich konserw. Zapisujemy więc liczebność próby jako . Podano również podstawowe parametry dla próby tzn. średnią i odchylenie standardowe . Oczywiście użyto oznaczeń dla próby.

Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując: .

Znamy również końcówki przedziału ufności dla wariancji.

Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji?

Niewiadomą jest współczynnik ufności, a więc .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie konserwy	PRÓBA 15 wybranych konserw

- współczynnik ufności,

- końcówki przedziału ufności

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który był oszacowany przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Następnie oszacowano przedział ufności pokrywający nieznaną wartość wariancji w populacji otrzymując: .

Słowo wariancja oznacza, że przedział ufności został zbudowany oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Na tym etapie na razie poprzestajemy, ponieważ nie jesteśmy w stanie uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu chi-kwadrat, bo w formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

Nie znamy wartości ani , więc możemy odnieść wrażenie, że mamy dwie nieznane wielkości. Jednak nie jest tak do końca, ponieważ obie z nich zależą od tej samej wartości , wobec tego na dobrą sprawę mamy do czynienia z jedną niewiadomą. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 0,0115 czy 0,0724? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach jest przecież tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. Wybierzemy zapis , ponieważ wydaje się mniej skomplikowany, oczywiście można użyć i ostateczny wynik nie ulegnie zmianie.

Sposób rozwiązania powstałego równania zależy wyłącznie od Was, jeśli oznaczenie wydaje się przerażające można je tymczasowo zastąpić chociażby .

I już od razu lepiej to wygląda, prawda?

Wymnażamy przez aby pozbyć się kreski ułamkowej:

Dzielimy przez 0,0115 w celu otrzymania :

(wynik został zaokrąglony do trzech miejsc po przecinku)

Ostatecznie

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu chi - kwadrat, przy czym zapis wskazuje nam, że bierzemy pod uwagę tylko wiersz z 14 stopniami swobody.

Najbliższą wartością statystki 29,348 znalezioną w tablicy na poziomie 14 stopni swobody jest 29,141. Odpowiada ona dla prawdopodobieństwa równego 0,01. Specjalnie nie używam symbolu , ponieważ na tym etapie pojawia się najwięcej błędów. Dlaczego? W zapisie dopiero po podzieleniu przez 2 jest odczytywana z tablic, czyli . Zatem ostatecznie - i to ta wartość ląduje we współczynniku ufności.

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności , a więc prawidłowa jest odpowiedź B.

Interpretacja brzmi następująco (nie jest tu potrzebna): Z ufnością 0,98 nieznana wariancja wagi ogółu konserw mieści się w przedziale od 0,0115 do 0,0724 kg ² .

Powstała dziwna jednostka - (kg) ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.