ISBN 83-7011-783-X str.278

Zakładamy, że waga detali ma rozkład normalny. Na podstawie 10 losowo wybranych detali wyznaczono odchylenie standardowe wagi tych detali kg.

a) Na poziomie ufności wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wagi detali.

b) Jaki to będzie przedział ufności, gdy ?

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdania:

a) Na poziomie ufności wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wagi detali.

b) Jaki to będzie przedział ufności, gdy ?

Występuje tu charakterystyczny dla tej grupy zadań zwrot: przedział ufności , a dodatkowo odnajdujemy wyrażenie współczynnik ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Rozwiązanie zadania polega na zbudowaniu przedziałów ufności dla dwóch różnych współczynników ufności. Oprócz współczynników ufności wszystkie dane są wspólne, tak więc na dopiero etapie obliczeń rozdzielimy się na podpunkty.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

Zakładamy, że waga detali ma rozkład normalny.

W tym zdaniu występuje założenie normalności rozkładu długości okresu wegetacyjnego i to zawsze odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Na podstawie 10 losowo wybranych detali wyznaczono odchylenie standardowe wagi tych detali kg.

Teraz zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja na temat wylosowania konkretnej ilości jednostek spośród wszystkich detali. Oznaczamy więc liczebność próby . Podano również jeden z podstawowych parametrów dla próby tzn. odchylenie standardowe .

Na poziomie ufności wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wagi detali.

Podano również współczynnik ufności, a więc . Od razu wyznaczamy .

Jaki to będzie przedział ufności, gdy ?

Po zmianie nowy współczynnik ufności wynosi , a więc .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA wszystkie detale	PRÓBA 10 wybranych detali
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

Na poziomie ufności wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wagi detali.

Słowo wariancja oznacza, że będziemy budować przedział ufności oczywiście dla wariancji z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla wariancji mamy do wyboru dwa modele. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana , a liczebność próby jest mniejsza od 30 , zatem wybieramy model I . W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych z tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi danymi.

Ad. a) dla ,

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

Ad. b) dla , (inne dane bez zmian)

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się znowu literka (grecka litera czyt. chi ), zatem skorzystamy z tablic rozkładu chi-kwadrat (link). W tym przypadku ponownie będziemy odczytywać statystykę dwukrotnie, ponieważ w uzupełnionym wzorze występują dwa nieco różniące się symbole: oraz . Zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Z kolei zapis oznacza konieczność odnalezienia w tablicach statystyki dla i 9 stopni swobody:

Wracamy do obliczeń i podstawiamy oraz :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ad. a) Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,98 nieznana wariancja wagi ogółu detali mieści się w przedziale od 0,12 do 1,20 (kg) ² .

Ad. b) Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,9 nieznana wariancja wagi ogółu detali mieści się w przedziale od 0,15 do 1,08 (kg) ² .

W obydwu przypadkach powstała dziwna jednostka - (kg) ² , ale w przypadku wariancji (jednostka podniesiona do kwadratu) nie jest to nic nadzwyczajnego i nie należy na to zwracać większej uwagi. Przyjęło się zresztą, że samej wariancji się nie interpretuje, ale już odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem z wariacji - jak najbardziej.

Jak widać po zmniejszeniu współczynnika ufności z 0,98 do 0,9 otrzymaliśmy krótszy przedział, a więc precyzja oszacowania wariancji wzrosła (bo jeśli już trafimy w przedział to mamy większą szansę, że będziemy bliżej szacowanej wartości niż w dłuższym przedziale).