Zadanie 5

Pobrano próbki owoców z 26 krzewów dzikiej róży i wykonano pomiary zawartości witaminy C w mg na 100 g miąższu owocowego. Na podstawie tej próbki oszacowano miąższu owocowego oraz . Przyjmując, że zawartość witaminy C w owocach dzikiej róży kształtuje się według rozkładu normalnego, na poziomie ufności oszacować metodą przedziałową przeciętną zawartość witaminy C w 100 g miąższu dzikiej róży.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Przyjmując, że zawartość witaminy C w owocach dzikiej róży kształtuje się według rozkładu normalnego, na poziomie ufności oszacować metodą przedziałową przeciętną zawartość witaminy C w 100 g miąższu dzikiej róży.”

 

Odnajdujemy w nim zwroty: oszacować metodą przedziałową i na poziomie ufności. W związku z tym mamy już pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Pobrano próbki owoców z 26 krzewów dzikiej róży i wykonano pomiary zawartości witaminy C w mg na 100 g miąższu owocowego.”

 

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to krzewów i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

 

„Na podstawie tej próbki oszacowano miąższu owocowego oraz .”

 

Tu nie ma już żadnych wątpliwości co do oznaczeń. Podana jest średnia i wariancja z próby, zatem po prostu je spisujemy i . Można stosować też zapis wedle uznania. Skoro podano wariancję to od razu warto wyznaczyć odchylenie standardowe , a więc .

 

„Przyjmując, że zawartość witaminy C w owocach dzikiej róży kształtuje się według rozkładu normalnego, na poziomie ufności oszacować metodą przedziałową przeciętną zawartość witaminy C w 100 g miąższu dzikiej róży. ”

 

Wiemy, że zawartość witaminy C jest rozkładem normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nic nie wiemy na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podano też współczynnik ufności , który został określony mianem prawdopodobieństwa. Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA krzewy dzikiej róży	PRÓBA 26 wybranych krzewów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„...na poziomie ufności oszacować metodą przedziałową przeciętną zawartość witaminy C w 100 g miąższu dzikiej róży.”

 

Wyraz przeciętny oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 25 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,99 wartość nieznanej przeciętnej zawartości witaminy C w 100 g miąższu dzikiej róży mieści się w przedziale od 472,13 cm do 527,87 mg.

 

Zadanie pochodzi z: Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła - Wyd.2 popr. i rozsz. - Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. - 262 s. ; 24 cm. - ISBN 978-83-01-13819-6