Zadanie 44

W celu zbadania wieku lekarzy zatrudnionych na wsi i w mieście pobrano losowo dwie próby: 9-elementową próbę lekarzy wiejskich i 8-elementową próbę lekarzy miejskich. Średni wiek lekarzy wiejskich wynosił 42 lata, a lekarzy miejskich – 46 lat. Odchylenie standardowe wieku ogółu lekarzy zatrudnionych na wsi i w mieście łącznie wyniosło 2,4 roku. Zakładając, że rozkład wieku ogółu lekarzy jest normalny, zbudować przedział ufności dla przeciętnego wieku ogółu lekarzy (miejskich i wiejskich łącznie), przyjmując współczynnik ufności 0,98.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

„Zakładając, że rozkład wieku ogółu lekarzy jest normalny, zbudować przedział ufności dla przeciętnego wieku ogółu lekarzy (miejskich i wiejskich łącznie), przyjmując współczynnik ufności 0,98.”

Odnajdujemy w nim zwroty: zbudować przedział ufności i współczynnik ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W celu zbadania wieku lekarzy zatrudnionych na wsi i w mieście pobrano losowo dwie próby: 9-elementową próbę lekarzy wiejskich i 8-elementową próbę lekarzy miejskich.”

Dowiadujemy się, że wylosowano próbę, ale uwaga – mamy do czynienia z dwiema próbami. Jedną z nich stanowią lekarze wiejscy, a drugą lekarze miejscy. Oznaczmy je odpowiednio oraz . Można podać łączną liczebność próby, a więc . Dalej zastosujemy prawdopodobnie oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

„Średni wiek lekarzy wiejskich wynosił 42 lata, a lekarzy miejskich – 46 lat.”

Dla wylosowanych prób określono średnie, więc stosując oznaczenia dla średnich z próby mamy odpowiednio dla lekarzy wiejskich i dla lekarzy miejskich.

„Odchylenie standardowe wieku ogółu lekarzy zatrudnionych na wsi i w mieście łącznie wyniosło 2,4 roku.”

Podano również odchylenie standardowe, ale już dla ogółu lekarzy, a wyraz ogół jest równoznaczny z populacją, więc zapisujemy używając oznaczenia dla populacji . W tym przypadku nie stosujemy indeksów 1 czy 2, ponieważ odchylenie standardowe dotyczy lekarzy wiejskich i miejskich łącznie.

W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu wieku i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Podano odchylenie standardowe dla tego rozkładu , zatem możemy zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym .

Podano również współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

ogół lekarzy wiejskich i miejskich

PRÓBA

wybrani lekarze wiejscy i miejscy

- rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym

Lekarze wiejscy

Lekarze miejscy

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

Wyrażenie przeciętnego oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. jest znana i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

Niestety na tym etapie pojawia się problem, ponieważ w danych znajdują się dwie średnie i , a nie wolno ich po prostu zsumować, jak to zrobiono z próbami . Należy wyliczyć łączną średnią dla obu prób. Jeżeli dysponujemy kilkoma średnimi, a konieczne jest wyliczenie całościowej średniej to pojawia się pojęcie „średnia średnich”. Oznaczamy ją symbolem , a wzór wygląda następująco: .

Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to średnie kolejnych próbek, a to liczebności poszczególnych prób. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny , gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc , a więc ogólnie:

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza ilość prób. Tak więc średnia średnich będzie miała uproszczony wzór:

Zapiszmy zatem wzór dla , ponieważ mamy dwie próby:

Oczywiście obliczenia można przeprowadzać w tabeli, ale mając dwie próby stworzenie tabeli zajmie nam więcej czasu niż zwyczajne podstawienie do wzoru. Wracamy do danych i otrzymujemy:

Uprzedzam, że liczenie średniej średnich poprzez dodanie obu średnich i podzielenie na dwa jest NIEPRAWIDŁOWE! Jest to możliwe wyłącznie w przypadku, gdzie liczebności poszczególnych grup są jednakowe. Dla różnych liczebności próbek stosuje się powyższy wzór.

Wracamy wreszcie do istoty zadania i wstawiamy dane do wzoru . Zapis traktujemy jako .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,98 przeciętny wiek ogółu lekarzy (miejskich i wiejskich łącznie) mieści się w przedziale od 42,52 lat do 45,24 lat.

Zadanie pochodzi z: Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka. - Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne - ISBN 83-208-1107-4