Zadanie 41

Dla potrzeb oszacowania średniego trwania życia kineskopów pewnej klasy telewizorów wylosowano 100 kineskopów. Poniższe dane prezentują długość trwania życia wylosowanych kineskopów.

 

Długość trwania	0 - 4	4 - 8	8 - 12	12 - 16
Ilość kineskopów	10	40	30	20

1.  

Na poziomie 90% ufności oszacować przeciętne trwanie życia kineskopów badanej klasy.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Na poziomie 90% ufności oszacować przeciętne trwanie życia kineskopów badanej klasy.”

 

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować trwanie życia kineskopów, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: poziom ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Dla potrzeb oszacowania średniego trwania życia kineskopów pewnej klasy telewizorów wylosowano 100 kineskopów.”

 

W tym momencie wiemy, że wylosowano próbę, a jej liczebność to kineskopów i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

 

„Poniższe dane prezentują długość trwania życia wylosowanych kineskopów.”

 

Długość trwania	0 - 4	4 - 8	8 - 12	12 - 16
Ilość kineskopów	10	40	30	20

 

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

 

„Na poziomie 90% ufności oszacować przeciętne trwanie życia kineskopów badanej klasy..”

 

Podano też współczynnik ufności , od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA kineskopy pewnej klasy telewizorów	PRÓBA 100 wybranych kineskopów
	dane tabelaryczne  - (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Na poziomie 90% ufności oszacować przeciętne trwanie życia kineskopów badanej klasy. ”

 

Również w zdaniu pierwszym:

„Dla potrzeb oszacowania średniego trwania życia kineskopów pewnej klasy telewizorów wylosowano 100 kineskopów.”

 

Wyrażenie przeciętny/średniego oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby i odchylenia standardowego . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (długość trwania życia) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

 

- warianty obserwacji (długość trwania życia)	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba kineskopów)
(suma)

 

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością , ponieważ nie zdarza się, aby było zapisane w formie przedziałów. Symbol to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację , (kończymy przedział na 4, następny również zaczynamy od 4), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru .

Na początku wyjaśnijmy symbol . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły . Upraszczając należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to środki kolejnych przedziałów, a liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny , gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc , a więc ogólnie:

 

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

 

Czym jest , oraz ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

 

Numer klasy	- przedziały klasowe (wiek pracowników)	- środki przedziałów	-liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
	(suma)

 

 

Uzupełniając otrzymujemy wzór:

i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wartość , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem i kolumny daje kompletny licznik wzoru na średnią.

 

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
	(suma)

 

 

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję , bo . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

 

i dla ilości klas z zadania :

 

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdego środka przedziału odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

 

Numer klasy	-  środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych
	(suma)

 

 

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji .

 

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór :

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego. Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

 

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

 

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 przeciętny czas trwania życia kineskopów badanej klasy mieści się w przedziale od 7,8 lat do 9 lat.