Zadanie 40

W zakładzie Z dla 16 wybranych losowo pracowników otrzymano następujące informacje o zatrudnionych:

Wiek pracowników	20-24	24-28	28-32	32-36
Liczba pracowników	4	6	4	2

Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,98.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

„Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,98.”

Odnajdujemy w nim zwroty: wyznaczyć przedział ufności i poziom ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W zakładzie Z dla 16 wybranych losowo pracowników otrzymano następujące informacje o zatrudnionych:”

Wiek pracowników	20-24	24-28	28-32	32-36
Liczba pracowników	4	6	4	2

Losowo wybranych pracowników traktujemy jako próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

Podano również wyniki z próby w tabeli. Jeżeli dysponujemy danymi dotyczącymi próby ujętymi w tabeli zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,98.”

W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu wieku i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podano też współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

pracownicy zakładu Z

PRÓBA

16 wybranych pracowników

- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

dane tabelaryczne - (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,98.” ”

Słowo przeciętnego oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy tabelą z danymi, więc możemy wyznaczyć z nich lub . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby i odchylenia standardowego . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej.

Dysponujemy danymi tabelarycznymi, gdzie warianty cechy (wiek pracowników) są w formie przedziałów tzn. od jednej wartości do drugiej wartości. Taki szereg określa się szeregiem rozdzielczym przedziałowym. Przeredagujmy zatem tabelę z zadania właśnie na tą postać szeregu.

- warianty obserwacji (wiek pracowników)	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych (liczba pracowników)




(suma)

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego nie ma możliwości pomyłki do tego co jest wariantem cechy, a co liczebnością , ponieważ nie zdarza się, aby było zapisane w formie przedziałów. Symbol to po prostu ogólny zapis przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego (chyba najczęściej używany – chociaż zależy od preferencji prowadzącego). Należy pilnować, aby końcówka każdego przedziału była początkiem następnego. W tabeli z zadania mamy właśnie przedstawioną sytuację , (kończymy przedział na 24, następny również zaczynamy od 24), itd. w związku z tym nie musimy nic zmieniać, zachowana jest ciągłość.

W szeregu przedziałowym średnią liczymy ze wzoru .

Na początku wyjaśnijmy symbol . Oznacza on środek każdego z podanych przedziałów, a obliczany jest na podstawie formuły . Upraszczając należy zsumować początek i koniec każdego przedziału i wynik podzielić na dwa.

Wracamy do wzoru na średnią. Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to środki kolejnych przedziałów, a liczebności dla kolejnych przedziałów. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny , gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc , a więc ogólnie:

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza liczbę przedziałów klasowych (ilość wierszy w tabeli z danymi). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Czym jest , oraz ? Wszystko to zostanie pokazane dokładnie w tabeli. Obliczmy również środki poszczególnych przedziałów.

Numer klasy	- przedziały klasowe (wiek pracowników)	- środki przedziałów	-liczebności poszczególnych przedziałów klasowych




	(suma)

Uzupełniając otrzymujemy wzór:

i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu przedziałowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą jej wartość , a następnie sumujemy powstałe iloczyny. Przecięcie wiersza z symbolem i kolumny daje kompletny licznik wzoru na średnią.

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych




	(suma)

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję , bo . Wzór na wariancję z danych szeregu przedziałowego wygląda następująco: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia. Na początek ogólnie:

i dla ilości klas z zadania :

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdego środka przedziału odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

Numer klasy	- środki przedziałów	- liczebności poszczególnych przedziałów klasowych




	(suma)

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 15 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy:

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,98 przeciętny wiek ogółu pracowników zakładu Z mieści się w przedziale od 24,37 lat do 29,63 lat.

Zadanie pochodzi z: Statystyka : elementy teorii i zadania / Stanisława Ostasiewicz, Zofia Rusnak, Urszula Siedlecka. Wyd. 6 popr., Wrocław : Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, 2006. - 455 s.: il.; 24 cm. ISBN 83-7011-783-X