Zadanie 38

Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej. Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4. Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności .

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

 

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności . ”

 

Odnajdujemy w nim zwroty: zbudować przedział ufności i poziom ufności.  Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Dwudziestu tynkarzy wykonuje roboty tynkarskie w wielkiej hali sportowej.”

 

Co prawda nie określono precyzyjnie, czy mamy do czynienia z próbą, ale z późniejszej treści zadania wynika, że trzeba oszacować liczbę metrów kwadratowych tynku dla przeciętnego tynkarza. Badanych tynkarzy potraktujemy jako próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

 

„Ich średnie wydajności w m2/h zaobserwowane w tym samym dniu są następujące: 5, 4, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 3, 5, 6, 5, 4, 5, 6, 5, 4.”

 

Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

 

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności . „

 

Podano też współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA tynkarze	PRÓBA 20 wybranych tynkarzy
	– dane indywidualne (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

 

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

 

„Zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza na poziomie ufności . ”

 

Wyrażenie wartości oczekiwanej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich lub . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

1. 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

1.  

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby i odchylenia standardowego . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku) i możemy korzystać ze wzorów dotyczących danych indywidualnych (podobnie jak w zadaniach 32-37). Zastanówmy się jednak, czy w tym zadaniu będzie to wygodne. Danych jest dość dużo, bo aż i w dużej mierze powtarzają się. W związku z tym łatwiej będzie je posegregować w szereg punktowy tzn. wykonać tabelę, w której podliczymy ilości poszczególnych obserwacji.

 

- warianty obserwacji	- liczebności poszczególnych obserwacji
(suma)

 

W szeregu punktowym średnią liczymy ze wzoru . Objaśnijmy go. Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to wartości kolejnych obserwacji, a liczebności dla tych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne iloczyny , gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc , a więc ogólnie:

 

W naszym przypadku znad znaku sumy oznacza liczbę klas (ilość wierszy w tabeli z danymi, ilość wariantów obserwacji). Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

 

Czym jest , oraz ? Wszystko to pokażmy dokładnie w tabeli:

 

Numer klasy	- warianty obserwacji	- liczebności poszczególnych obserwacji
	(suma)

 

Uzupełniając otrzymujemy wzór:

i oczywiście możemy uzupełnić go danymi z tabeli, ale proponuję nadal korzystać z tabeli i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na średnią z szeregu punktowego, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Każdą wartość mnożymy przez odpowiadającą mu wartość , a następnie sumujemy powstałe iloczyny.  Przecięcie wiersza z symbolem i kolumny daje kompletny licznik wzoru na średnią.

 

Numer klasy	- warianty obserwacji	- liczebności poszczególnych obserwacji
	(suma)

 

 

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję , bo . Wzór na wariancję z danych szeregu punktowego wygląda następująco: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru analogiczne jak w przypadku średniej. Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.  Na początek ogólnie:

 

i dla ilości klas z zadania :

 

Tu też można podstawiać dane z tabeli, ale ponownie proponuję trzymać się obliczeń tabelarycznych. Można kontynuować poprzednią tabelę dopisując kolejne kolumny. Znowu krok po kroku będziemy tworzyć licznik ze wzoru. Dopisana pierwsza kolumna - od każdej wariantu cechy odejmujemy wcześniej wyliczoną średnią , druga kolumna to podniesienie wyników z poprzedniej do kwadratu. Ostatnia to wymnożenie wyników z drugiej przez odpowiadające im wartości i dopiero ona jest sumowana (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję ).

 

Numer klasy	- warianty obserwacji	- liczebności poszczególnych obserwacji
	(suma)

 

 

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji .

 

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór .

 

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 19 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy:

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 wartość oczekiwana liczby metrów kwadratowych tynku wykonanego w ciągu godziny przez jednego tynkarza  mieści się w przedziale od 4,58 m2/h do 5,42  m2/h.

 

 

 

 

Zadanie pochodzi z: Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła. Wyd.2 popr. i rozsz., Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. 262 s. : il. ; 24 cm. ISBN 978-83-01-13819-6