Zadanie 32

W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20. Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu zadania zwracamy uwagę na zdania:

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90. ”

Odnajdujemy w nich zwroty: oszacować metodą przedziałową i współczynnik ufności. Teraz mamy pewność, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W 8-osobowej losowo wybranej grupie uczniów zmierzono czas rozwiązywania pewnego zadania matematycznego.”

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to uczniów i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

„Otrzymano następujące wyniki (w minutach): 25, 16, 12, 10, 12, 21, 25, 20.”

Podano informacje o konkretnych wynikach z próby. Jeżeli dysponujemy wartościami wypisanymi po przecinku tzw. danymi indywidualnymi, to zawsze możemy policzyć średnią , wariancję i odchylenie standardowe (lub , ). Nie liczmy jednak tych parametrów od razu, ponieważ dopiero etap wyboru formuły na estymację wskaże nam czego potrzebujemy. Po prostu chodzi o to, żeby nie liczyć na zapas np. odchylenia, bo może okazać się niepotrzebne w późniejszych obliczeniach.

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów. ”

W tym zdaniu nie ma żadnych wartości przydatnych na etapie wypisywania danych.

„Przyjąć współczynnik ufności 0,90. „

Podano też współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

zbiorowość uczniów rozwiązujących zadanie matematyczne

PRÓBA

8 wybranych uczniów

– dane indywidualne (można obliczyć średnią , wariancję , odchylenie standardowe )

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Oszacować metodą przedziałową średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów.”

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. Dysponujemy danymi indywidualnymi, więc możemy wyznaczyć z nich lub . Decyzja, którą opcję wybrać należy do nas, jest to właściwie obojętne, ale najczęściej wybiera się (o ile nie zostanie narzucone inaczej), także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami. Jak widać potrzebujemy średniej z próby i odchylenia standardowego . W związku z tym zanim zajmiemy się uzupełnianiem właściwego wzoru należy obliczyć dwa (na razie) nieznane parametry. Liczenie średniej, wariacji i odchylenia standardowego jest zagadnieniem ze statystyki opisowej. Dysponujemy danymi indywidualnymi (wypisanymi po przecinku), jest ich niewiele i w dużej mierze nie powtarzają się - zatem średnią liczymy ze wzoru . Oczywiście na chłopski rozum średnią można policzyć sumując wszystkie dane, a potem dzieląc przez ilość – i jest to jak najbardziej prawidłowe rozwiązanie, a ten wzór oznacza to samo. Jednak zdaję sobie sprawę, że widząc „hieroglify” tego typu wiele osób nie wie co robić, a tym bardziej jak je rozpisywać :). Mając to na uwadze postaram się przybliżyć kwestię wzorów rozpisując je na czynniki pierwsze.

Znak oznacza sumę. Pod tym symbolem znajduje się zapis , a nad nim , to wartości kolejnych obserwacji. Wszytko razem oznacza, że będziemy sumować kolejne obserwacje oznaczone symbolem , gdzie będzie rosło od aż do wartości , a więc .

Tak więc średnia będzie miała uproszczony wzór:

Teraz przełożymy wszystko na dane z zadania. Liczebność próby wynosi , a więc wzór na średnią możemy zapisać następująco:

Czym jest ? To są konkretne wyniki z próby, a więc . Jeśli ktoś chciałby uporządkować dane indywidualne od najmniejszej do największej, może to spokojnie zrobić. Porządkowanie liczb nie wpływa na wynik, także może zostać tak jak jest. A więc .

Obliczamy średnią:

Zostało nam jeszcze odchylenie standardowe . Na początek i tak musimy obliczyć wariancję , bo . Wzór na wariancję z danych indywidualnych wygląda tak: . Jest też alternatywa , ale będziemy używać pierwszej wersji. Rozpisanie wzoru będzie analogiczne jak w przypadku średniej. Na początek ogólnie:

i dla :

Jak widać do policzenia wariancji i tak niezbędna jest średnia.

Możemy już podstawiać liczby za , ale proponuję utworzyć tabelkę i wykonywać w niej obliczenia. Po pierwsze jest bardziej klarowna, po drugie ułamek powstały po rozpisaniu wzoru może okazać się dłuższym tasiemcem niż w tym konkretnym zadaniu i łatwo tu o pomyłkę. W tabelce powoli budujemy wzór na wariancję z danych indywidualnych, a jej nagłówki zawsze wyglądają tak samo. Na początku od każdego wartości odejmujemy średnią, a następnie wynik podnosimy do kwadratu. Sumujemy ostatnią kolumnę (przecięcie wiersza z symbolem i daje kompletny licznik wzoru na wariancję )










(suma)

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji .

Wracamy do istoty zadania i wreszcie uzupełniamy wzór .

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 7 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy :

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania w całej zbiorowości uczniów mieści się w przedziale od 13,63 minut do 21,63 minut.

Statystyka: podstawy teoretyczne, przykłady, zadania / Mieczysław Sobczyk. - Wyd.1 - Lublin : Wydaw.Uniw.M.Curie-Skłodowskiej, 2000 - 425 s. ; 25 cm. - ISBN 83-227-1608-7