Zadanie 31

W analizie rozmiarów zadłużenia bankowego dla losowej próby 81 dużych firm prywatnych stwierdzono, że końcówki 99% przedziału ufności dla wartości oczekiwanej zadłużenia wszystkich dużych firm prywatnych wynosiły w 2010 roku: 2,6 mln zł (dolna) i 2,8 mln zł (górna). Jaki był poziom średniego losowego błędu oceny wartości oczekiwanej zadłużenia oraz czy przeprowadzona przedziałowa estymacja była w danym przypadku statystycznie bezpieczna?

a) ok. 0,025; nie b) ok. 0,038; tak, ale... c) ok. 0,025; nie, ale... d) ok. 0,038; tak.

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Zwracamy uwagę na zdania:

„W analizie rozmiarów zadłużenia bankowego dla losowej próby 81 dużych firm prywatnych stwierdzono, że końcówki 99% przedziału ufności dla wartości oczekiwanej zadłużenia wszystkich dużych firm prywatnych wynosiły w 2010 roku: 2,6 mln zł (dolna) i 2,8 mln zł (górna).”

oraz

„Jaki był poziom średniego losowego błędu oceny wartości oczekiwanej zadłużenia oraz czy przeprowadzona przedziałowa estymacja była w danym przypadku statystycznie bezpieczna?”

Odnajdujemy w nich zwroty: przedział ufności i przedziałowa estymacja. Wobec tego zadanie na pewno dotyczy estymacji przedziałowej. W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności tzn. oraz , a szukany jest średni losowy błąd oceny wartości oczekiwanej, zadanie należy znowu do typu - „zadań od tyłu”. Mamy ocenić również stopień bezpieczeństwa wnioskowania. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

W tym momencie dowiadujemy się, że badano 81 firm, a więc podano liczebność próby: . Wyrażenie 99% przedział ufności mówi nam o wartości współczynnika ufności . Podano również końcówki przedziału ufności. Wiemy, że wartość oczekiwana zadłużenia wszystkich firm zawarta jest w przedziale od 2,6 do 2,8.

„Jaki był poziom średniego losowego błędu oceny wartości oczekiwanej zadłużenia oraz czy przeprowadzona przedziałowa estymacja była w danym przypadku statystycznie bezpieczna?”

W tym zdaniu nie ma przydatnych informacji z punktu widzenia wypisywania danych.

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

duże firmy prywatne

PRÓBA

81 wybranych dużych firm

- końcówki przedziału ufności

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Zacznijmy od oceny bezpieczeństwa przeprowadzonej estymacji przedziałowej. Do tego służy względna precyzja oszacowania, którą oznacza się literą , chociaż to już zależy od preferencji prowadzącego. Wzór na szukaną wielkość zależy od formuły zastosowanej do zbudowania przedziału ufności, także na początku musimy znaleźć wzór na wyliczony już przedział ufności. Interpretacja względnej precyzji szacunku to wartość poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku ) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych).

Spójrzmy na zdanie:

„Jaki był poziom średniego losowego błędu oceny wartości oczekiwanej zadłużenia oraz czy przeprowadzona przedziałowa estymacja była w danym przypadku statystycznie bezpieczna?”

Wyrażenie wartości oczekiwanej oznacza, że estymacja była przeprowadzana dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

Drugą wielkością, którą należy obliczyć w zadaniu jest średni losowy oceny wartości oczekiwanej (przeciętny błąd szacunku). Można powiedzieć jest „okrojoną” wersją wzoru na maksymalny błąd szacunku . Mianowicie nie bierzemy pod uwagę wartości statystyki odczytanej z odpowiednich tablic, po prostu ją wyrzucamy (w naszym przypadku ). Tak więc: .

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Jak widać wyliczenie oraz z wcześniej podanych wzoru stanowi problem, ponieważ w danych nie odnajdujemy wartości , zatem należy sobie radzić w inny sposób.

Wybraliśmy wzór .

Zapiszmy go w krótszej używając jedynie średniej i bezwzględnego błędu szacunku:

Mamy podane końcówki przedziału:

Nie znamy ani średniej ani błędu szacunku, czyli szukamy dwóch niewiadomych. W połączeniu z dwiema końcówkami przedziału ufności tworzymy układ równań (mając 2 niewiadome potrzebujemy 2 równań, aby móc cokolwiek wyliczyć):

Sposób rozwiązywania jest obojętny, chociaż tu najwygodniej zastosować metodę przeciwnych współczynników. Dodajemy stronami obydwa równania:

Wracamy do układu i wybierając dowolne równanie wyliczamy :

Wracamy do wzoru dotyczącego względnej precyzji oszacowania i podstawiamy rozwiązanie z układu:

Jak widać w tym konkretnym przypadku obeszło się bez czytania z tablic statystycznych.

Wracamy do przeciętnego błędu szacunku określonego wzorem: . Niestety, wartość odchylenia standardowego z próby nadal pozostaje nieznana. Wspomniałam wcześniej, że jest okrojoną wersją wzoru na przeciętny błąd szacunku .

Inaczej można zatem zapisać .

Podstawmy wszystkie dane i wyliczoną wcześniej wartość :

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy względną precyzję oszacowania , zatem wnioskowanie jest całkowicie bezpieczne i średni losowy oceny wartości oczekiwanej , czyli wybieramy odpowiedź D.