Zadanie 39

W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy w 1994 r. wynosiła 30, a odchylenie standardowe – 3 dni.

1. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90, oszacować średnią absencję w pracy wśród ogółu pracowników.
2. Określić i zinterpretować przeciętny i maksymalny błąd szacunku.

3. Określić, w jakim kierunku i o ile zmieni się względna precyzja oszacowania, jeśli – przy innych warunkach nie zmienionych – liczebność próby zmniejszymy do 225 osób.

Zadanie składa się z trzech podpunktów, dlatego aby nie wprowadzać chaosu przy rozwiązywaniu oddzielimy je od siebie.

Ad.1

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

„Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90, oszacować średnią absencję w pracy wśród ogółu pracowników. ”

Co prawda nie użyto bezpośrednio zwrotu przedział ufności, ale musimy oszacować średnią absencję, więc wypadałoby podać przedział ufności, bo tzw. estymacja punktowa (tzn. konkretna liczba, a nie przedział) daje wynik o prawdopodobieństwie praktycznie równym zero. Dodatkowo występuje tu wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

„W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy w 1994 r. wynosiła 30, a odchylenie standardowe – 3 dni.”

Od razu zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja o losowym wyborze konkretnej ilości pracowników, tak więc liczebność próby to . Podano średnią liczbę dni nieobecności i odchylenie standardowe . Oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby.

„Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90, oszacować średnią absencję w pracy wśród ogółu pracowników.”

Podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

POPULACJA

wszyscy pracownicy przedsiębiorstwa

PRÓBA

900 wybranych pracowników

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

„Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90, oszacować średnią absencję w pracy wśród ogółu pracowników.”

Wyraz średnią oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 średnia absencja w pracy wśród ogółu pracowników mieści się w przedziale od 29,84 dnia do 30,16 dnia.

Ad.2

Zacznijmy od określenia maksymalnego błędu szacunku (bezwzględny błąd szacunku) , który jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej niezależnie od wybranego wzoru. W związku z tym, że wybraliśmy w podpunkcie pierwszym wzór z modelu III, to formuła na wygląda tak:

czyli .

Wracamy do danych z tabeli w podpunkcie pierwszym i uzupełniamy:

Uzupełniamy statystykę u z tablic rozkładu normalnego również odczytaną w podpunkcie pierwszym .

Natomiast przeciętny błąd szacunku jest „okrojoną” wersją wzoru na maksymalny błąd szacunku. Mianowicie nie bierzemy pod uwagę wartości statystyki odczytanej z odpowiednich tablic, po prostu ją wyrzucamy. Tak więc: .

Uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami:

Maksymalny błąd szacunku wynosi , a przeciętny błąd szacunku .

Ad.3

Względną precyzję oszacowania określamy wzorem .

Na początku obliczymy względną precyzję oszacowania dla pierwotnej treści zadania, tzn. liczebności próby . Wartość znamy z drugiego podpunktu , zatem ostatecznie otrzymujemy:

Teraz czas na określenie względnej precyzji szacunku dla liczebności próby . Zgonie z założeniami reszta danych pozostaje bez zmian.

Tym razem musimy obliczyć wartość od początku ponownie korzystając ze wzoru . Jak widać wzór nie uległ zmianie, ponieważ mimo zmniejszenia liczebności próby i tak przekracza 30 . Obliczamy:

Na koniec względna precyzja szacunku :

Po zmniejszeniu liczebności próby z 900 osób do 225 osób względna precyzja oszacowania zmalała o około punktów procentowych, czyli ponad dwukrotnie. Coś tu jednak się nie zgadza, prawda? Przecież po zmniejszeniu liczebności próby otrzymaliśmy większą liczbę i na chłopski rozum względna precyzja uległa zwiększeniu? Z względną precyzją szacunku jest tak, że im większa wartość liczbowa otrzymana w wyniku tym gorsza precyzja oszacowania. Jeśli interpretuje się względną precyzję szacunku to wartość poniżej 5% mówi nam, że wnioskowanie o parametrze (w tym przypadku ) jest uprawnione i całkowicie bezpieczne, jeżeli mieści się od 5% do 10% wnioskowanie jest możliwe, ale z zalecaną ostrożnością, a jeśli przekracza 10% wnioskowanie jest niewiarygodne i należy je przerwać. Uzyskiwanie niezadowalającej (powyżej 5%, a tym bardziej powyżej 10%) względnej precyzji szacunku może być spowodowane zbyt wysokim współczynnikiem ufności, zbyt małą liczebnością próby oraz wysokim zróżnicowaniem wyników w próbie (np. duży rozstrzał danych).

Zadanie pochodzi z: Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka. - Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne - ISBN 83-208-1107-4