Zadanie 3

Z populacji mężczyzn przyjętych do wojska wylosowano próbę o liczebności 20. W próbie stwierdzono średni wzrost równy 177 cm z odchyleniem standardowym 4,5 cm. Zakładając normalność rozkładu wzrostu wskaż przedział, w którym z prawdopodobieństwem znajdzie się przeciętny wzrost przyjętych do wojska mężczyzn:

a) b) c) d)

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Zakładając normalność rozkładu wzrostu wskaż przedział, w którym z prawdopodobieństwem znajdzie się przeciętny wzrost przyjętych do wojska mężczyzn”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: wskaż przedział .... Występuje też - czyli współczynnik ufności. Zadanie jest w formie testowej i nawet odpowiedzi w formie różnych wersji przedziałów wskazują na to, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Z populacji mężczyzn przyjętych do wojska wylosowano próbę o liczebności 20.”

 

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji.

 

„W próbie stwierdzono średni wzrost równy 177 cm z odchyleniem standardowym 4,5 cm.”

 

Podana jest średnia i odchylenie standardowe z próby, zatem oznaczamy je odpowiednio oznaczeniami dla próby, a więc i .

 

„Zakładając normalność rozkładu wzrostu wskaż przedział, w którym z prawdopodobieństwem znajdzie się przeciętny wzrost przyjętych do wojska mężczyzn”

 

Wiemy, że rozkład wzrostu jest normalny i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nic nie wiemy na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podano też współczynnik ufności , który został określony mianem prawdopodobieństwa. Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA mężczyźni przyjęci do wojska	PRÓBA 20 wybranych mężczyzn
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„wskaż przedział, w którym z prawdopodobieństwem znajdzie się przeciętny wzrost przyjętych do wojska mężczyzn”

 

Wyraz przeciętny oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

 

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 19 stopni swobody.

 

Wracamy do obliczeń i podstawiamy

 

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: czyli odpowiedź D.

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 wartość nieznanego przeciętnego wzrostu populacji przyjętych do wojska mężczyzn mieści się w przedziale od 174,84 cm do 179,16 cm.