Zadanie 27

Wylosowano 20 respondentów w wieku 21-23 lat i zapytano o poziom miesięcznego „dochodu marzeń”. Otrzymano następujący 95-procentowy przedział ufności szacujący „dochód marzeń” w populacji młodych ludzi: . Wskaż względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej:

 

a) 3,2% b) 15,8% c) 25,6% d) 7,6%

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Otrzymano następujący 95-procentowy przedział ufności szacujący „dochód marzeń” w populacji młodych ludzi: ”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: przedział ufności. Podano również sam przedział.

 

W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności , a szukana jest względna precyzja oszacowania wartości oczekiwanej, zadanie należy znowu do typu - „zadań od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Wylosowano 20 respondentów w wieku 21-23 lat i zapytano o poziom miesięcznego „dochodu marzeń””

 

W tym momencie dowiadujemy się, że wylosowano 20 respondentów, a więc podano liczebność próby: .

 

„Otrzymano następujący 95-procentowy przedział ufności szacujący „dochód marzeń” w populacji młodych ludzi: ”

 

Wyrażenie : 95-procentowy przedział ufności mówi nam o wartości współczynnika ufności

Podano również końcówki przedziału ufności. Wiemy, że dochód marzeń dla populacji młodych ludzi zawarty jest w przedziale od 11,5789 do 15,9211.

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA młodzi ludzie	PRÓBA 20  respondentów z populacji młodych ludzi

 

  - końcówki przedziału ufności

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Poszukujemy względnej precyzji oszacowania, którą oznacza się literą , chociaż to już zależy od preferencji prowadzącego. Wzór na szukaną wielkość zależy od formuły zastosowanej do zbudowania przedziału ufności, także na początku musimy znaleźć wzór na wyliczony już przedział ufności.

 

Niestety w zadaniu nie do końca wiadomo, która wielkość z populacji była oszacowana przedziałem ufności, ale szukamy względnej precyzji oszacowania wartości oczekiwanej czyli średniej z populacji, a to musi być spójne. Tzn. nie może być tak, że przedział ufności był na przykład budowany dla wariacji, a precyzja oszacowania szukana jest dla średniej.

 

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. Co prawda w danych nie podano ani , ale z reguły przyjmuje się pierwszą wersja wzoru z wybranego modelu – czyli z . Nic się nie stanie, jeśli użyjemy drugiego wzoru.

 

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Jak widać wyliczenie z wcześniej podanego wzoru stanowi problem, ponieważ w danych nie odnajdujemy wartości , zatem należy sobie radzić w inny sposób.

 

Wybraliśmy wzór .

Zapiszmy go w krótszej używając jedynie średniej i bezwzględnego błędu szacunku:

 

Mamy podane końcówki przedziału:

 

Nie znamy ani średniej ani błędu szacunku, czyli szukamy dwóch niewiadomych. W połączeniu z dwiema końcówkami przedziału ufności tworzymy układ równań (mając 2 niewiadome potrzebujemy 2 równań, aby móc cokolwiek wyliczyć):

 

Sposób rozwiązywania jest obojętny, chociaż tu najwygodniej zastosować metodę przeciwnych współczynników. Dodajemy stronami obydwa równania:

 

 

 

Wracamy do układu i wybierając dowolne równanie wyliczamy :

 

Wracamy do wzoru dotyczącego względnej precyzji oszacowania i podstawiamy rozwiązanie z układu:

 

Jak widać w tym konkretnym przypadku obeszło się bez czytania z tablic statystycznych.

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy względną precyzję oszacowania czyli odpowiedź B, sama interpretacja nie jest potrzebna, ponieważ jest to zadanie testowe.