Zadanie 25

Analizując sytuację mieszkaniową gospodarstw domowych pewnego osiedla, otrzymano dla 20-elementowej próby prostej, wylosowanej spośród tych gospodarstw domowych, średnią powierzchnię użytkową mieszkania równą 59,1 m2 i odchylenie standardowe 6,5 m2. Jaka będzie względna precyzja szacunku przeciętnej powierzchni mieszkania na poziomie ufności 0,95?

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

W tym zadaniu nie ma słowa, które jednoznacznie wskazywałoby, że jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

 

„Jaka będzie względna precyzja szacunku przeciętnej powierzchni mieszkania na poziomie ufności 0,95?”

 

Co prawda występuje wyrażenie poziom ufności, ale to trochę za mało. Bardziej naprowadzają nas na właściwy trop słowa: szacunku średniej, ponieważ oznacza to, że wartość oczekiwaną oszacowano przedziałem ufności, którego nie określono. Bardzo rzadko stosuje się tzw. estymację punktową (czyli jedna konkretna liczba), ponieważ prawdopodobieństwo właściwego wyniku jest praktycznie równe zero. Poza tym interesuje nas względna precyzja szacunku, a pytanie o tą wielkość dotyczy z reguły zadań z estymacji. W zadaniu nie interesuje nas przedział ufności, ale do podania wzoru na względną precyzję szacunku potrzebujemy formuły na ten przedział. W związku z tym będziemy postępować zgodnie ze znanym schematem dotyczącym estymacji przedziałowej, ale będziemy liczyć wyłącznie to co nas interesuje.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Analizując sytuację mieszkaniową gospodarstw domowych pewnego osiedla, otrzymano dla 20-elementowej próby prostej, wylosowanej spośród tych gospodarstw domowych, średnią powierzchnię użytkową mieszkania równą 59,1 m2 i odchylenie standardowe 6,5 m2. ”

 

W tym momencie dowiadujemy się, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to gospodarstw. Określona jest średnia i odchylenie standardowe z próby . Oczywiście użyto oznaczeń symboli dla próby.

 

„Jaka będzie względna precyzja szacunku przeciętnej powierzchni mieszkania na poziomie ufności 0,95?”

 

Podano współczynnik ufności , od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA gospodarstwa domowe z pewnego osiedla	PRÓBA 20 wybranych gospodarstw

- współczynnik ufności,

 

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który szacowano przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

 

„Jaka będzie względna precyzja szacunku przeciętnej powierzchni mieszkania na poziomie ufności 0,95?”

 

Wyraz przeciętnej oznacza, że będziemy budowano przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

 

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór , a później konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 19 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy: :

 

I na koniec względna precyzja szacunku:

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Nie proszą nas o interpretację przedziału ufności. Względny stopień precyzji szacunku wynosi 5,29%.

 

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka : elementy teorii i zadania / Stanisława Ostasiewicz, Zofia Rusnak, Urszula Siedlecka. Wyd. 6 popr., Wrocław : Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, 2006. - 455 s.: il.; 24 cm. ISBN 83-7011-783-X