Zadanie 24

Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu. Ustal względny stopień precyzji szacunku nieznanego parametru.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: oszacuj metodą przedziałową. Występuje też wyrażenie współczynnik ufności – w związku z tym z całą pewnością zadanie dotyczy estymacji przedziałowej. Formuła na względny błąd szacunku zostanie określona na etapie wyboru wzoru na estymację.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Na zawodach sportowych bada się czas pokonania przez sportowców dystansu 100 m. ”

 

Dowiadujemy się właściwie tylko, że bada się sportowców pod kątem czasu pokonania dystansu 100 m, a sam dystans nie jest (przynajmniej na razie) konkretnym parametrem do umieszczenia w danych.

 

„Dokonano 30 niezależnych pomiarów i otrzymano z nich średnią wynoszącą 12 sekund oraz odchylenie standardowe równe 2 sekundy.”

 

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to . Określona jest średnia i odchylenie standardowe z próby . Oczywiście użyto oznaczeń symboli dla próby.

 

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

 

Podano współczynnik ufności , od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA sportowcy pokonujący dystans 100 m	PRÓBA 30 wybranych sportowców

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

 

„Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu.”

 

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby nie jest mniejsza od 30, ale równa 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

 

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 29 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy:

 

 

Z kolei względna precyzja szacunku:

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średni czas potrzebny na pokonanie wyznaczonego dystansu 100 m mieści się w przedziale od 11,24 sekund do 12,76 sekund. Względny stopień precyzji szacunku wynosi 6,33%.

 

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka w przykładach i zadaniach / Elżbieta Sojka. - Wyd.1 - Tychy : Śląskie Wydawnictwa Naukowe Wyższej Szkoły Zarządzania i Nauk Społecznych, 2003. - 222 s. ; 25 cm. - 83-89055-09-0