Zadanie 23

Zakładamy, że roczne zużycie proszku do prania na osobę w rodzinach czteroosobowych jest zmienną losową o rozkładzie . Oszacować metodą przedziałową przeciętne roczne zużycie proszku, na poziomie ufności 0,95, jeśli na podstawie 16-elementowej próby prostej, pobranej ze zbiorowości czteroosobowych gospodarstw domowych, otrzymano: średnie roczne zużycie kg i odchylenie standardowe kg. Jaki jest względny błąd szacunku?

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Oszacować metodą przedziałową przeciętne roczne zużycie proszku, na poziomie ufności 0,95...”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: oszacować metodą przedziałową. Występuje też wyrażenie poziom ufności – w związku z tym z całą pewnością zadanie dotyczy estymacji przedziałowej. Formuła na względny błąd szacunku zostanie określona na etapie wyboru wzoru na estymację.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Zakładamy, że roczne zużycie proszku do prania na osobę w rodzinach czteroosobowych jest zmienną losową o rozkładzie . ”

 

Wiemy, że rozkład zużycia proszku do prania jest normalny i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nic nie wiemy na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać tak jak w treści zadania: - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

 

„Oszacować metodą przedziałową przeciętne roczne zużycie proszku, na poziomie ufności 0,95, jeśli na podstawie 16-elementowej próby prostej, pobranej ze zbiorowości czteroosobowych gospodarstw domowych, otrzymano: średnie roczne zużycie kg i odchylenie standardowe kg.”

 

Podano poziom ufności , od razu wyznaczamy . W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to . Określona jest średnia i odchylenie standardowe z próby, nie mamy wątpliwości co do oznaczeń, więc po prostu spisujemy i .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA zbiorowość czteroosobowych gospodarstw domowych	PRÓBA 16 wybranych gospodarstw
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

 

„Oszacować metodą przedziałową przeciętne roczne zużycie proszku, na poziomie ufności 0,95...”

 

Wyraz przeciętne oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas pierwsza wersja wzoru z wybranego modelu.

 

 

 

Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 15 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy:

 

 

Z kolei względna precyzja szacunku:

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 przeciętne roczne zużycie proszku mieści się w przedziale od 8,95 kg do 10,55 kg. Względny błąd szacunku wynosi 8,21%.

 

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka : elementy teorii i zadania / Stanisława Ostasiewicz, Zofia Rusnak, Urszula Siedlecka. Wyd. 6 popr., Wrocław : Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, 2006. - 455 s.: il.; 24 cm. ISBN 83-7011-783-X