Zadanie 22

Na podstawie próby prostej, obejmującej 100 kwitów kasowych na stoisku kosmetycznym w pewnym domu towarowym, otrzymano średnią arytmetyczną kwoty zakupu wynoszącą 75,4 zł oraz odchylenie standardowe kwoty zakupu równe 18 zł. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku oraz obliczyć względną precyzję szacunku.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na ostatnie zdanie:

 

„Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku oraz obliczyć względną precyzję szacunku. ”

 

Odnajdujemy zwrot: wyznaczyć przedział ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej. Względna precyzja szacunku będzie określona po wyborze wzoru na przedział ufności.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Na podstawie próby prostej, obejmującej 100 kwitów kasowych na stoisku kosmetycznym w pewnym domu towarowym, otrzymano średnią arytmetyczną kwoty zakupu wynoszącą 75,4 zł oraz odchylenie standardowe kwoty zakupu równe 18 zł. ”

 

W tym momencie zaczyna się opis próby, ponieważ pojawia się informacja o wylosowaniu konkretnej ilości kwitów kasowych, tak więc liczebność próby to . Podano średnią arytmetyczną kwoty zakupu i odchylenie standardowe . Oczywiście zastosowaliśmy oznaczenia dla próby.

 

„Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku oraz obliczyć względną precyzję szacunku. ”

 

Podano poziom (współczynnik) ufności w procentach, ale zamienimy go na ułamek . Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA kwity kasowe w domu towarowym	PRÓBA 100 wybranych kwitów kasowych

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w ostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

„Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku oraz obliczyć względną precyzję szacunku.”

 

Wyraz przeciętnej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

 

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

 

 

 

Z kolei względna precyzja szacunku:

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 nieznana wartość przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku  mieści się w przedziale od 71,87 zł do 78,93 zł. Względny błąd szacunku wynosi 4,68%.

 

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka : elementy teorii i zadania / Stanisława Ostasiewicz, Zofia Rusnak, Urszula Siedlecka. Wyd. 6 popr., Wrocław : Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, 2006. - 455 s.: il.; 24 cm. ISBN 83-7011-783-X