NEW | ||||||
Zadanie 21Na 10 poletkach doświadczalnych o powierzchni 4 m2 zasiano soczewicę wielkolistną. Po przeliczeniu przeciętnego plonu na kwintal z hektara otrzymano q/ha oraz . Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności . Określić również względny stopień precyzji szacowania tego parametru.
1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?
Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:
„Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności .”
Odnajdujemy w nim zwrot: oszacować przedział ufności. Występuje również poziom ufności. W związku z tym zadanie na pewno dotyczy estymacji przedziałowej. Względny stopień precyzji szacowania parametru określimy dopiero na etapie wyboru wzoru na przedział ufności.
2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH. Analizujemy zdanie po zdaniu.
„Na 10 poletkach doświadczalnych o powierzchni 4 m2 zasiano soczewicę wielkolistną.”
Nie podano wprost, czy 10 poletek jest próbą, ale przyjmijmy je za próbę losową. Kolejne zdania powinny nas utwierdzić, że dokonaliśmy słusznego wyboru. Przyjmujemy liczebność próby i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podano też powierzchnię pojedynczego poletka , ale nie wiadomo jaki to parametr.
„Po przeliczeniu przeciętnego plonu na kwintal z hektara otrzymano q/ha oraz .”
Widzimy oznaczenia dla próby ( i ), także upewniamy się w decyzji co do liczebności próby, a parametry dotyczą wielkości plonu, także wcześniejsza wielkość poletka jest nieistotną informacją, bo badaną cechą jest wielkość zbiorów. Podana jest średnia i wariancja z próby, nie ma wątpliwości co do oznaczeń i po prostu je spisujemy i . Zastosowaliśmy symbol , ponieważ w zadaniu wyraźnie zaznaczono, że należy go użyć. Spokojnie można też zostawić zapis wedle uznania. Od razu wyznaczamy odchylenie standardowe z próby .
„Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności .”
Wiemy, że rozkład plonów soczewicy jest normalny i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nic nie wiemy na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym . Podano też współczynnik (poziom) ufności . Od razu wyznaczamy .
Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:
- współczynnik ufności,
3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.
Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:
„Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności .”
Wyraz przeciętny oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji. Zresztą nawet podano wyraźnie – nieznany parametr . Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas druga wersja wzoru z wybranego modelu. Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej . , gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :
czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .
4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.
Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.
Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 9 stopni swobody. Wracamy do obliczeń i podstawiamy:
Z kolei względna precyzja szacunku:
5. WYNIK I INTERPRETACJA.
Ostatecznie otrzymujemy: . Interpretacja brzmi następująco: Z ufnością 0,98 wartość nieznanego parametru (przeciętnego plonu soczewicy) mieści się w przedziale od 6,43 q/ha do 7,57 q/ha. Względny błąd szacunku wynosi 8,14%.
Zadanie pochodzi z: Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła. Wyd.2 popr. i rozsz., Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. 262 s. : il. ; 24 cm. ISBN 978-83-01-13819-6 |
||||||