Zadanie 21

Na 10 poletkach doświadczalnych o powierzchni 4 m2 zasiano soczewicę wielkolistną. Po przeliczeniu przeciętnego plonu na kwintal z hektara otrzymano q/ha oraz . Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności . Określić również względny stopień precyzji szacowania tego parametru.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności .”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: oszacować przedział ufności. Występuje również poziom ufności. W związku z tym zadanie na pewno dotyczy estymacji przedziałowej. Względny stopień precyzji szacowania parametru określimy dopiero na etapie wyboru wzoru na przedział ufności.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Na 10 poletkach doświadczalnych o powierzchni 4 m2 zasiano soczewicę wielkolistną.”

 

Nie podano wprost, czy 10 poletek jest próbą, ale przyjmijmy je za próbę losową. Kolejne zdania powinny nas utwierdzić, że dokonaliśmy słusznego wyboru. Przyjmujemy liczebność próby i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji. Podano też powierzchnię pojedynczego poletka , ale nie wiadomo jaki to parametr.

 

„Po przeliczeniu przeciętnego plonu na kwintal z hektara otrzymano q/ha oraz .”

 

Widzimy oznaczenia dla próby ( i ), także upewniamy się w decyzji co do liczebności próby, a parametry dotyczą wielkości plonu, także wcześniejsza wielkość poletka jest nieistotną informacją, bo badaną cechą jest wielkość zbiorów. Podana jest średnia i wariancja z próby, nie ma wątpliwości co do oznaczeń i po prostu je spisujemy i . Zastosowaliśmy symbol , ponieważ w zadaniu wyraźnie zaznaczono, że należy go użyć. Spokojnie można też zostawić zapis wedle uznania. Od razu wyznaczamy odchylenie standardowe z próby .

 

„Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności .”

 

Wiemy, że rozkład plonów soczewicy jest normalny i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nic nie wiemy na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

Podano też współczynnik (poziom) ufności . Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA pola zasiane soczewicą	PRÓBA 10 wybranych poletek soczewicy
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

 

„Zakładając, że plony soczewicy mają rozkład normalny, oszacować przedział ufności dla nieznanego parametru (przeciętny plon soczewicy) na poziomie ufności .”

 

Wyraz przeciętny oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.  Zresztą nawet podano wyraźnie – nieznany parametr .

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas druga wersja wzoru z wybranego modelu.

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 9 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy:

 

 

Z kolei względna precyzja szacunku:

 

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,98 wartość nieznanego parametru (przeciętnego plonu soczewicy) mieści się w przedziale od 6,43 q/ha do 7,57 q/ha. Względny błąd szacunku wynosi 8,14%.

 

Zadanie pochodzi z: Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła. Wyd.2 popr. i rozsz., Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. 262 s. : il. ; 24 cm. ISBN 978-83-01-13819-6