Zadanie 20

W dużej farmie Z specjalizującej się w produkcji buraka cukrowego przeprowadzono badania jego masy. Na podstawie próby 100-elementowej ustalono kg. Z wieloletnich badań przeprowadzonych w latach ubiegłych wiadomo, że rozkład masy buraków uprawianych na tej farmie jest rozkładem normalnym ze stałą wariancją, która wynosi . Należy:

a) zbudować przedział ufności dla nieznanej wartości średniej masy buraka cukrowego w farmie Z, przyjmując poziom ufności ;

b) ustalić względny stopień precyzji szacowania nieznanej wartości .

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„zbudować przedział ufności dla nieznanej wartości średniej masy buraka cukrowego w farmie Z, przyjmując poziom ufności ”

 

Mamy tu wyrażenie: zbudować przedział ufności i dodatkowo poziom ufności - w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dopiero po wybraniu wzoru na przedział ufności możemy zająć się względną precyzją szacunku.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„W dużej farmie Z specjalizującej się w produkcji buraka cukrowego przeprowadzono badania jego masy.”

 

W tym zdaniu nie mamy właściwie informacji na temat konkretnych danych liczbowych, ale podano, że populacją tworzą buraki cukrowe w farmie Z.

 

„Na podstawie próby 100-elementowej ustalono kg.”

 

W tym momencie wiemy, że wybrano próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji. Określono (oczywiście dla próby) średnią, czyli - w tym przypadku nie ma wątpliwości co do oznaczenia.

 

„Z wieloletnich badań przeprowadzonych w latach ubiegłych wiadomo, że rozkład masy buraków uprawianych na tej farmie jest rozkładem normalnym ze stałą wariancją, która wynosi .”

 

Dowiadujemy się, że rozkład masy buraków jest cechą o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. wariancję dla populacji . Od razu możemy wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji i ostatecznie zapisać , że badana cecha na rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym .

 

„zbudować przedział ufności dla nieznanej wartości średniej masy buraka cukrowego w farmie Z, przyjmując poziom ufności ”

 

Na końcu podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA buraki cukrowe na farmie Z	PRÓBA 100 wybranych buraków
- rozkład normalny o nieznanej średniej i  odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

 

„zbudować przedział ufności dla nieznanej wartości średniej masy buraka cukrowego w farmie Z, przyjmując poziom ufności ”

 

Wyrażenie średniej oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. jest znana i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

 

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego tablic rozkładu normalnego . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

 

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

 

 

Z kolei względna precyzja szacunku:

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,99 nieznana wartość średniej masy dla całej populacji buraka cukrowego w farmie Z mieści się w przedziale od 5,94 kg do 10,06 kg. Względny błąd szacunku wynosi 25,75%.

 

Zadanie pochodzi z: Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła. Wyd.2 popr. i rozsz., Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. 262 s. : il. ; 24 cm. ISBN 978-83-01-13819-6