Zadanie 2

W zakładzie produkcyjnym BIATOL wylosowano niezależną próbę 13 pracowników, dla których średnia pracochłonność przy obróbce pojedynczego elementu wynosiła 20 minut, a odchylenie standardowe 6 minut . Przyjmując poziom ufności zbudować przedział ufności pokrywający średnią pracochłonność dla wszystkich robotników. Zakłada się, że rozkład pracochłonności w populacji generalnej jest normalny.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Przyjmując poziom ufności zbudować przedział ufności pokrywający średnią pracochłonność dla wszystkich robotników.”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: zbudować przedział ufności. Występuje też - czyli poziom ufności. W związku z tym zadanie na pewno dotyczy estymacji przedziałowej.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„W zakładzie produkcyjnym BIATOL wylosowano niezależną próbę 13 pracowników, dla których średnia pracochłonność przy obróbce pojedynczego elementu wynosiła 20 minut, a odchylenie standardowe 6 minut .”

 

W tym momencie wiemy, że wylosowaliśmy próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy prawdopodobnie stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla populacji. Podana jest średnia i odchylenie standardowe z próby, zatem oznaczamy je odpowiednio oznaczeniami dla próby, a więc i . Zastosowaliśmy symbol , ponieważ w zadaniu wyraźnie zaznaczono, że należy go użyć.

 

„Przyjmując poziom ufności zbudować przedział ufności pokrywający średnią pracochłonność dla wszystkich robotników.”

 

Podano też współczynnik (poziom) ufności . Od razu wyznaczamy .

 

„Zakłada się, że rozkład pracochłonności w populacji generalnej jest normalny.”

 

Wiemy, że rozkład pracochłonności jest normalny i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nic nie wiemy na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA pracownicy zakładu BIATOL	PRÓBA 13 wybranych pracowników
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

 

„zbudować przedział ufności pokrywający średnią pracochłonność dla wszystkich robotników.”

 

Wyraz średni oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest mniejsza od 30 ( ), zatem wybieramy model II. W danych występuje , także interesuje nas druga wersja wzoru z wybranego modelu.

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka t, zatem skorzystamy z tablic t-Studenta. Zapis oznacza statystykę dla i 12 stopni swobody.

Wracamy do obliczeń i podstawiamy :

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,90 wartość średniej pracochłonności dla populacji robotników mieści się w przedziale od 17,03 do 22,97 minut.