Zadanie 19

Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych. Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową. Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież zł. Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji . Należy:

a) wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności ,

b) ustalić względny stopień precyzji oszacowania nieznanego parametru .

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności ”

 

Mamy tu wyrażenie: wyznaczyć przedział ufności i dodatkowo poziom ufności- w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Dopiero po wybraniu wzoru na przedział ufności możemy zająć się względną precyzją szacunku.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Poddano analizie wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych.”

 

Tu nie mamy właściwie informacji na temat konkretnych danych liczbowych, ale podano, że populacja to wiejskie rodziny czteroosobowe.

 

„Z populacji tych rodzin wylosowano próbę 324-elementową.”

 

W tym momencie wiemy, że wybrano próbę, a jej liczebność to i w związku z tym będziemy stosować oznaczenia parametrów dla próby, chyba że zostanie wyraźnie określone, że będą to parametry dla  populacji.

 

„Na bazie przeprowadzonych obserwacji ustalono przeciętną skalę wydatków na odzież zł.”

 

Określono (oczywiście dla próby) średnią, czyli .

 

„Badania lat ubiegłych wykazały, że rozkład wydatków na odzież jest rozkładem normalnym o stałej wariancji ”

 

Dowiadujemy się, że wydatki na odzież są cechą o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. wariancję dla populacji . Od razu możemy wyznaczyć odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji i ostatecznie zapisać , że badana cecha na rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym .

 

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności ”

 

Na końcu podano współczynnik ufności . Od razu wyznaczamy .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA czteroosobowe rodziny wiejskie	PRÓBA 324 wybranych rodzin
- rozkład normalny o nieznanej średniej i  odchyleniu standardowym

- współczynnik ufności,

 

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który należy oszacować przedziałem ufności i w przedostatnim zdaniu wyłapujemy słowo:

 

„wyznaczyć przedział ufności średnich miesięcznych wydatków na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych, dla całej populacji, przyjmując poziom ufności .”

 

Wyrażenie średnich oznacza, że będziemy budować przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. jest znana i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

 

 Nadszedł czas by określić wzór na względną precyzję oszacowania wartości oczekiwanej .

, gdzie (bezwzględny błąd szacunku) jest wielkością odejmowaną i dodawaną do średniej :

 

czyli . Powtarzam jeszcze raz, że formuła na obliczenie zależy od wzoru wybranego na przedział ufności, ale zawsze jest to wielkość odejmowana i dodawana do średniej .

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Teraz należy odczytać odpowiednią statystykę z tablic. W formule znajduje się literka u, zatem skorzystamy z tablic rozkładu normalnego . Zapis oznacza konieczność odnalezienia statystyki dla .

Czytanie z tablic rozkładu normalnego nie jest trudne. Sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. W przypadku sumujemy i czyli .

Wracamy do obliczeń i podstawiamy (zaokrąglanie to indywidualna sprawa wynikająca najczęściej z preferencji prowadzącego)

 

 

Z kolei względna precyzja szacunku:

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy:

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średnie miesięczne wydatki na odzież w wiejskich rodzinach czteroosobowych dla całej populacji mieszczą się w przedziale od 116,8 zł do 123,2 zł. Względny błąd szacunku wynosi 2,67%.

 

Zadanie pochodzi z: Elementy statystyki w zadaniach / Karol Kukuła. Wyd.2 popr. i rozsz., Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. 262 s. : il. ; 24 cm. ISBN 978-83-01-13819-6