Zadanie 17

Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Po przeczytaniu całego zadania zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”

 

Odnajdujemy zwrot: oszacowanego przedziału, dodatkowo występuje wyrażenie: współczynnik ufności i w związku z tym na pewno jest to zadanie dotyczące estymacji przedziałowej.

Z treści zadania wynika, że nie trzeba obliczać końcówek przedziału ufności, a szukany jest współczynnik ufności z reguły występujący w danych, zatem określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Zresztą podano długość przedziału ufności. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym.”

 

Podano założenie normalności rozkładu czasu dojazdu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym .

 

„W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależenie 100-elementową próbę pracowników.”

 

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 100 pracowników, a więc podano liczebność próby: .

 

„Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 min., a odchylenie standardowe stanowiło ½ czasu średniego.”

 

Podano średnią dla próby, czyli i odchylenie standardowe dla próby. Co prawda nie jest podane bezpośrednio, ale jako połowa średniej, a więc . Oczywiście użyliśmy oznaczeń dla próby.

 

„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”

 

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności . Określono również długość szacowanego przedziału ufności – 7,84 min.

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA ogół pracowników	PRÓBA 100 wybranych pracowników
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

 

- długość przedziału ufności dla średniej z populacji

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności. Przyjrzyjmy się zdaniu:

 

„Jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu średniej w rozkładzie czasu dojazdu do pracy ogółu pracowników, jeżeli długość oszacowanego przedziału wyniosła 7,84 min.?”

 

Wiemy zatem, że zbudowano przedział ufności dla średniej z populacji - przypominam, że przedział ufności jest budowany dla parametrów z populacji i dlatego nie tylko .

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u).

Znamy jednak długość przedziału ufności i w związku z tym należy jakoś tą informację wykorzystać.

Teraz na chwilę zapomnijmy o zadaniu i przypomnijmy sobie w jaki sposób oblicza się jego długość. Weźmy przykładowo przedział i naszkicujmy go na osi.

Aby obliczyć długość przedziału należy od końcówki odjąć jego początek, a więc .

Podobnie z przedziałem z zadania, a więc , można oczywiście zapisać go w taki sposób . Co prawda przedział nie jest uzupełniony do końca, ale postępujemy analogicznie:

Opuszczamy nawiasy:

 

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością we wnętrzu tablicy stanowi . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy i czyli . Pamiętajmy, że jest to .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności: .

Interpretacja nie jest konieczna, zresztą i tak nie znamy końcówek przedziału ufności tylko jego długość.

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka. - Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne - ISBN 83-208-1107-4