Zadanie 16

Średnia frekwencja widzów w kinie na seansie filmowym w jednym z warszawskich kin ma rozkład . Na podstawie obserwacji liczby widzów na 25 losowo wybranych seansach kinowych oszacowano przedział liczbowy dla nieznanej średniej frekwencji na wszystkich seansach.

1. Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji ?

2. Ile wynosiła średnia liczba widzów w zbadanej próbie 25 seansów kinowych ?

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Na podstawie obserwacji liczby widzów na 25 losowo wybranych seansach kinowych oszacowano przedział liczbowy dla nieznanej średniej frekwencji na wszystkich seansach.”

Odnajdujemy w nim słowo: przedział.

 

„Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji ?”

 

Tu znajduje się słowo: estymacja i współczynnik ufności. Nie ma więc wątpliwości, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej.

W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności ( ), a szukane są: współczynnik ufności oraz średnia z próby z reguły występujące w danych, określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Średnia frekwencja widzów w kinie na seansie filmowym w jednym z warszawskich kin ma rozkład .”

 

Zapis oznacza, że frekwencja widzów w kinie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Ponadto możemy odczytać jeden z parametrów rozkładu tzn. odchylenie standardowe dla populacji i ostatecznie zapisać jako rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym .

 

„Na podstawie obserwacji liczby widzów na 25 losowo wybranych seansach kinowych oszacowano przedział liczbowy dla nieznanej średniej frekwencji na wszystkich seansach.”

 

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 25 widzów, a więc podano liczebność próby: . Podano również końcówki przedziału ufności. Wiemy, że średnia frekwencja na wszystkich seansach zawarta jest w przedziale od 184 do 216.

 

 

„1. Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji ?”

 

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności ...

 

„2. Ile wynosiła średnia liczba widzów w zbadanej próbie 25 seansów kinowych ?”

 

… i nie tylko współczynnik ufności, ponieważ szukamy średniej z próby, a więc stosując odpowiednie oznaczenie .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA wszystkie seanse kinowe	PRÓBA 25 wybranych seansów
- rozkład normalny o nieznanej średniej i znanym odchyleniu standardowym

 

- końcówki przedziału ufności dla średniej z populacji

- współczynnik ufności,

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który oszacowano przedziałem ufności i wyłapujemy słowo:

 

„Na podstawie obserwacji liczby widzów na 25 losowo wybranych seansach kinowych oszacowano przedział liczbowy dla nieznanej średniej frekwencji na wszystkich seansach.”

 

Wyrażenie średniej oznacza, że budowano przedział ufności dla wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. jest znana i tylko model I jest odpowiedni. Liczebność próby nie jest w ogóle istotna.

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

 

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

 

 

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Podobnie średnia z próby nie jest znana. Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

 

 

Nie znamy wartości oraz , więc potraktujmy je jako niewiadome i rozwiążmy układ równań aby je wyznaczyć. Zwykła matematyczna zasada – mając dwie niewiadome potrzebujemy z reguły dwóch równań. Pierwsze równanie dotyczy 184, a drugie 216. Zapisujemy zatem:

 

 

Sposób rozwiązania układu jest dowolny, chociaż tu najwygodniej zastosować metodę przeciwnych współczynników. Dodajemy stronami obydwa równania:

 

 

 

Wracamy do układu i wybierając dowolne równanie wyliczamy , średnią mamy z głowy:

 

Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać układy równań z literką i , to możecie spokojnie na początku zastąpić symbole np. i lub odwrotnie.

 

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością we wnętrzu tablicy rozkładu normalnego stanowi (jeśli dysponujecie dokładniejszymi tablicami, to wynik będzie nieco inny). Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy i czyli . Pamiętajmy, że jest to .

 

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności i średnią z próby .

Interpretacja nie jest tu raczej niezbędna, ale brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 nieznana średnia frekwencja na wszystkich seansach mieści się w przedziale od 184 do 216.

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka. - Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne - ISBN 83-208-1107-4