Zadanie 15

Na podstawie informacji o czasie przepisywania na komputerze jednej strony tekstu przez 100 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedział dla średniego czasu pisania jednej strony tekstu przez ogół maszynistek: . Wiedząc dodatkowo, że rozkład czasu pisania jednej strony tekstu jest zbliżony do normalnego i że odchylenie standardowe w wylosowanej próbie wynosiło 1 min. ustalić, jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu powyższego przedziału.

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Na podstawie informacji o czasie przepisywania na komputerze jednej strony tekstu przez 100 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedział dla średniego czasu pisania jednej strony tekstu przez ogół maszynistek: .”

Odnajdujemy w nim słowo: przedział.

 

„Wiedząc dodatkowo, że rozkład czasu pisania jednej strony tekstu jest zbliżony do normalnego i że odchylenie standardowe w wylosowanej próbie wynosiło 1 min. ustalić, jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu powyższego przedziału.”

 

W ostatnim zdaniu również występuje słowo przedział. Dodatkowym potwierdzeniem, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej jest wyrażenie: współczynnik ufności.

W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności ( ), a szukany jest współczynnik ufności z reguły występujący w danych, określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Na podstawie informacji o czasie przepisywania na komputerze jednej strony tekstu przez 100 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedział dla średniego czasu pisania jednej strony tekstu przez ogół maszynistek: .”

 

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 100 maszynistek, a więc podano liczebność próby: . Podano również końcówki przedziału ufności. Wiemy, że średni czas pisania dla populacji (ogółu) maszynistek zawarta jest w przedziale od 5,804 min. do 6,196 min.

 

 

„Wiedząc dodatkowo, że rozkład czasu pisania jednej strony tekstu jest zbliżony do normalnego i że odchylenie standardowe w wylosowanej próbie wynosiło 1 min. ustalić, jaki współczynnik ufności przyjęto przy szacowaniu powyższego przedziału.”

 

W zadaniu występuje założenie normalności rozkładu i to już odnosi się do populacji (wcześniej wspominałam w części teoretycznej, że próba jest z reguły za mała aby stwierdzić rozkład normalny). Nie mamy informacji na temat tego rozkładu, zatem możemy tylko zapisać - rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym . Podano również odchylenie standardowe dla próby, a więc . Oczywiście użyliśmy oznaczenia dla próby. Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA ogół maszynistek	PRÓBA 100 wybranych maszynistek
- rozkład normalny o nieznanej średniej i nieznanym odchyleniu standardowym

 

- końcówki przedziału ufności dla średniej z populacji

- współczynnik ufności,

 

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności. Przyjrzyjmy się zdaniu:

„...oszacowano przedział dla średniego czasu pisania jednej strony tekstu przez ogół maszynistek: ”

Podano tu końcówki przedziału ufności dla średniej z populacji - przypominam, że przedział ufności jest budowany dla parametrów z populacji i dlatego nie tylko .

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

 

 

Nie znamy wartości oraz , więc potraktujmy je jako niewiadome i rozwiążmy układ równań aby je wyznaczyć. Zwykła matematyczna zasada – mając dwie niewiadome potrzebujemy z reguły dwóch równań. Pierwsze równanie dotyczy 5,804, a drugie 6,196. Zapisujemy zatem:

 

 

Sposób rozwiązania układu jest dowolny, chociaż tu najwygodniej zastosować metodę przeciwnych współczynników. Dodajemy stronami obydwa równania:

 

 

 

Wracamy do układu i wybierając dowolne równanie wyliczamy , sama średnia chociaż już wyliczona nie jest przez nas poszukiwana:

 

Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać układy równań z literką i , to możecie spokojnie na początku zastąpić symbole np. i lub odwrotnie.

 

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością we wnętrzu tablicy stanowi . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy i czyli . Pamiętajmy, że jest to .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności: .

Interpretacja brzmi następująco:

Z ufnością 0,95 średni czas pisania jednej strony tekstu przez ogół maszynistek mieści się w przedziale od 5,804 min. do 6,196 min.

 

Zadanie pochodzi z: Statystyka zbiór zadań / Helena Kassyk-Rokicka. - Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne - ISBN 83-208-1107-4