Zadanie 14

Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych. Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł. Otrzymano przedział ufności . Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?

a) 0,999 b) 0,99 c) 0,95 d) 0,90

 

1. JAK ROZPOZNAĆ ZADANIE DOTYCZĄCE ESTYMACJI PRZEDZIAŁOWEJ ?

 

Zwracamy uwagę na zdanie:

 

„Otrzymano przedział ufności .”

 

Odnajdujemy w nim zwrot: przedział ufności.

 

„Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?”

 

W ostatnim zdaniu również występuje słowo przedział. Dodatkowym potwierdzeniem, że zadanie dotyczy estymacji przedziałowej jest wyrażenie: współczynnik ufności.

W związku z tym, że podane są końcówki przedziału ufności ( ), a szukany jest współczynnik ufności z reguły występujący w danych, określimy to zadanie nieco kolokwialnie - „od tyłu”. Mimo to, będziemy postępować zgodnie z przyjętym schematem do zadań z estymacji i tylko na pewnym etapie obliczeń wprowadzimy modyfikacje.

 

 

2. ANALIZA I PRAWIDŁOWE WYPISANIE DANYCH.

Analizujemy zdanie po zdaniu.

 

„Pewne przedsiębiorstwo brokerskie chce ustalić przeciętne dzienne obroty na podstawie obserwowanych kolejnych 36 dni roboczych.”

 

W tym momencie dowiadujemy się, że wybrano 36 dni, a więc podano liczebność próby: .

 

„Średnia dzienna wartość sprzedaży wyniosła 139 zł z odchyleniem standardowym 12 zł.”

 

Dla obserwowanej próby średnia sprzedaż wyniosła 139 zł, czyli , a odchylenie standardowe 12 zł, czyli . Oczywiście użyliśmy oznaczeń średniej i odchylenia standardowego dla próby.

 

„Otrzymano przedział ufności .”

 

Podano końcówki przedziału ufności. Wiemy, że średnia dla populacji zawarta jest w przedziale od 135,08 zł do 142,92 zł.

 

„Przy jakim współczynniku ufności zbudowano ten przedział?”

Naszą niewiadomą jest współczynnik ufności .

 

Podsumowując tworzymy przejrzystą tabelę z danymi:

 

POPULACJA ogół dni roboczych	PRÓBA 36 wybranych dni roboczych

 

- końcówki przedziału ufności dla średniej z populacji

- współczynnik ufności,

 

3. WYBÓR ODPOWIEDNIEGO WZORU.

 

Szukamy parametru, który został oszacowany przedziałem ufności, ale nie ma tu charakterystycznego zwrotu, który pozwalałby na wybór wzoru. Przyjrzyjmy się zdaniu:

„Otrzymano przedział ufności .”

Podano tu końcówki przedziału ufności dla , czyli wartości średniej z populacji.

Spójrzmy w kartę wzorów. Dla średniej mamy do wyboru trzy modele wzorów. Teraz wracamy do danych i sprawdzamy, czy jest znana i jaka jest liczebność próby. nie jest znana, a liczebność próby jest większa od 30 ( ), zatem wybieramy model III.

 

 

4. UZUPEŁNIANIE WYBRANEGO WZORU I OBLICZENIA.

Wracamy do danych w tabeli i uzupełniamy wzór konkretnymi liczbami.

 

 

Jak widać, nie możemy uzupełnić współczynnika ufności , a tym samym nieznana jest , więc na tym etapie nie mamy możliwości odczytania odpowiedniej statystyki z tablic rozkładu normalnego (bo w formule znajduje się literka u). Znamy jednak końcówki przedziału ufności i w związku z tym możemy je pomocniczo nanieść do wzoru.

 

 

Nie znamy wartości , więc potraktujmy ją jak niewiadomą i rozwiążmy równanie aby ją wyznaczyć. Którą końcówkę przedziału wybrać tzn. 135,08 czy 142,92? Jest to całkowicie obojętne, ponieważ w obu przypadkach jest tą samą wartością. Poza tym szukamy jednej niewiadomej, a do wyznaczenia jednej niewiadomej wystarczy jedno równanie. A więc na przykład:

 

Jeśli komuś z Was jest wygodniej rozwiązywać równania z literką , to może nią spokojnie na początku zastąpić symbol .

 

Dopiero teraz wracamy do odczytywania z tablic, jest to tzw. „zadanie od tyłu”, więc i z tablic czytamy od tyłu, a więc szukamy wartości najbliższej , ale w środku tablicy rozkładu normalnego. Wynikiem odczytywania są obrzeża tablicy, a więc inaczej niż zwykle.

Najbliższą wartością we wnętrzu tablicy stanowi . Odczytując sumuje się wartości znajdujące się na obrzeżach tzn. z kolumny, która stanowi części dziesiętne i z wiersza, który traktujemy jako części setne. Sumujemy i czyli . Pamiętajmy, że jest to .

5. WYNIK I INTERPRETACJA.

 

Ostatecznie otrzymujemy współczynnik ufności: czyli odpowiedź C.

Interpretacja brzmi następująco, chociaż nie jest on w tym przypadku niezbędna:

Z ufnością 0,95 wartość ogółu nieznanych przeciętnych dziennych obrotów przedsiębiorstwa brokerskiego mieści się w przedziale od 135,08 zł do 142,192 zł.